Phương trình mặt cầu
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\). Tính diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2} - 1} = 2\).
Vậy diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(4\pi {.2^2} = 16\pi \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\)\(B\left( {4; - 7; - 9} \right)\), tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} = 165\) là mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). Giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2}\) bằng:
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} = 165\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array}\)
Do đó tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 2,\,\,b = - 1,\,\,c = - 1\) , bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt 3 \).
Vậy \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\). Gọi \(I\) là tâm mặt cầu, tọa độ hình chiếu vuông góc của \(I\) lên trục \(Oz\) là:
Mặt cầu \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\).
Hình chiếu của \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\) lên trục \(Oz\) là \(I'\left( {0;0; - 2} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\). Trong các điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1; - 1} \right)\) có bao nhiêu điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\)?
Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) vào phương trình mặt cầu ta có:
\({0^2} + {0^2} + {0^2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0 \Rightarrow O \in \left( S \right)\).
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) vào phương trình mặt cầu ta có:
\({1^2} + {2^2} + {3^2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 = - 14 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( S \right)\).
Thay tọa độ điểm \(B\left( {2; - 1; - 1} \right)\) vào phương trình mặt cầu ta có:
\({2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.2 - 4.\left( { - 1} \right) - 6.\left( { - 1} \right) = 12 \ne 0 \Rightarrow B \notin \left( S \right)\).
Vậy có 1 điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).
