Phương trình mũ và một số phương pháp giải

${4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} =  - 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 8}}{5}$

\({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2\)                         

Tổng các nghiệm sẽ bằng $0$.

\(\dfrac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^3}{.3^{ - x}} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^{3 - x}} \Leftrightarrow 2x - 6 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\)

\({e^{\ln 81}} = 81 = {9^2}\)

Điều kiện: $x \ge 1$.

Suy ra \(\sqrt {x - 1}  = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

\({4^x} = {8^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{3\left( {x - 1} \right)}} \Leftrightarrow 2x = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = 3\) 

\({2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Ta có ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}$.

Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)$, phương trình đã cho trở thành $t + \dfrac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0$(*)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 3 + a > 0\\{t_1} + {t_2} = 4 > 0\\{t_1}{t_2} = 1 - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 < a < 1$

Ta có ${x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x_1} - {x_2}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_1}}}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_2}}}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = 3$

Vì ${t_1} + {t_2} = 4$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm $t = 3$ và $t = 1$.

Khi đó $1 – a = 3.1 = 3 ⇔ a = –2$.

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.

\(\begin{array}{l}{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} + 9.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = 1\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\end{array}\)

Thử lần lượt từng đáp án ta thấy $x = 3$ là nghiệm của phương trình

Đặt

\(\begin{array}{l}t = {3^x},t > 0 \Rightarrow \sqrt {t + 6}  = t \to t + 6 = {t^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2(l)\\t = 3\end{array} \right.\\t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Rightarrow x = 1\end{array}\)

Đặt $t = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^x}\left( {t > 0} \right)$ phương trình có dạng $t + \dfrac{1}{t} = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2  + 1} (tm)\\{t = \sqrt 2  - 1} (tm) \end{array}} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}t = \sqrt 2  + 1 \Rightarrow x =  - 1\\t = \sqrt 2  - 1 \Rightarrow x = 1\end{array}$

Suy ra tích các nghiệm bằng $-1$.

Đặt $t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)$

Xét hàm số \(y = {t^2} - 8t + 3\) trên \((2;8)\) có:

$y' = 2t - 8;$ $y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\in (2;8)$

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên:

Phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow  - 13 < m <  - 9\)

Đặt $t = {2^{{x^2} - 2x + 1}} \ge 1$, phương trình đã cho trở thành ${t^2} - 2mt + 3m - 2 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$

Với $t = 1$ ta tìm được 1 giá trị của $x$

Với $t > 1$ ta tìm được 2 giá trị của $x$

Do đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn $1$

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - \left( {3m - 2} \right) > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right) + \left( {{t_2} - 1} \right) > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 > 0\\{t_1} + {t_2} > 2\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 > 0\\2m > 2\\3m - 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 1\end{array} \right.$

⇔ $m > 2$

- Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị $m=2$ không thuộc đáp án C nên ta thử $m=2$ có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án. 

Thử với $m=2$ ta được phương trình : \({12^x} + {2.3^x} - 2 = 0;\) \( f( - 1) = \dfrac{{ - 5}}{4};\) \(f(0) = 1\) \( \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\)

Do đó, phương trình có nghiệm trong khoảng $(-1;0)$, mà đáp án C không chứa $m=2$ nên loại C.

- Lại có giá trị $m=3$ thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra $m=3$ ta có thể loại tiếp được đáp án.

Thử với $m=3$ ta được phương trình : \({12^x} + {3^x} - 3 = 0;\) \(f( - 1) = \dfrac{{ - 31}}{{12}};\) \(f(0) =  - 1\) \( \Rightarrow f(0).f( - 1) > 0\)

Mà hàm số này đồng biến khi $m=3$ nên $f(x)<0,\forall x\in (-1;0)$, suy ra phương trình $f(x)=0$ sẽ không có nghiệm trong $(-1;0)$, loại B.

- Cuối cùng, ta thấy giá trị $m=1$ thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử $m=1$ để loại đáp án.

Thử với $m=1$ ta được phương trình : \({12^x} + {3.3^x} - 1 = 0;\) \(f( - 1) = \dfrac{{ - 11}}{{12}};\,f(0) = 3\) \( \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\)

Do đó phương trình $f(x)=0$ sẽ có nghiệm trong $(-1;0)$ nên loại D và chọn A.

Phương trình tương đương với: \({3^{2x}} - 9m{.3^x} + 9m = 0\) (*)

Đặt ${3^x} = a$  với $a > 0$ phương trình thành: ${a^2} - 9m.a + 9m = 0$

Giả sử phương trình có 2 nghiệm ${x_1}$  và ${x_2}$  thì \({3^{{x_1}}};{3^{{x_2}}}\) lần lượt là nghiệm của (*)

Suy ra: \({3^{{x_1}}}{.3^{{x_2}}} = 9m \Leftrightarrow {3^{{x_1} + {x_2}}} = 9m \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _3}9m = 3 \Rightarrow 9m = 27 \Leftrightarrow m = 3\)

Thử với $m = -1$ ta được phương trình:

${\left( {{3^{1 - x}}} \right)^2} - {4.3^{1 - x}} + 1 = 0$ phải có 2 nghiệm $3^{1-x}$  đều dương và 2 nghiệm đó là \(2 - \sqrt 3 \) và $2 + \sqrt 3 $.

Vậy $m = - 1$ thỏa mãn nên ta loại được A; B; D

\(2 = {5^{{{\log }_3}x}} \Leftrightarrow {\log _5}2 = {\log _3}x \Leftrightarrow \dfrac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}} = {\log _5}2 \)

$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}2}} = {\log _5}3 \Leftrightarrow {\log _5}3 = {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _3}5 = {\log _x}2$

Suy ra $2 = {x^{{{\log }_3}5}}$

Phương trình trên tương đương với

\({3^{2x - 2}} = {2^{x - \frac{3}{2}}} \) \(\Leftrightarrow {9^{x - 1}} = {2^{x - 1}}{.2^{\frac{{ - 1}}{2}}}\) \( \Leftrightarrow {(\dfrac{9}{2})^{x - 1}} = {2^{\frac{{ - 1}}{2}}} \)

$\Leftrightarrow x - 1 = {\log _{\frac{9}{2}}}{2^{\frac{{ - 1}}{2}}} $ $\Leftrightarrow x = 1 - \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2$

Suy ra \(x + \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2 = 1\)

Lấy $\ln $ hai vế ta được:

$\begin{array}{l}({x^2} - 1)\ln 2 = (x + 1)\ln 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\(x - 1)\ln 2 = \ln 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x - 1 = \dfrac{{\ln 3}}{{\ln 2}} = {\log _2}3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1 + {\log _2}3\end{array} \right.\end{array}$

Nếu $a =  - 1;b = 1 + lo{g_2}3 \Rightarrow a + b + ab = \; - 1$.

\({2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3}}{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2^{x + 1 + 1}} - {2^{x + 1 + 2}} \)

$\Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2.2^{x + 1}} - {2^2}{.2^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = (2m - 4){2^{x + 1}}$

\( \Leftrightarrow 2m - 4 = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}\)