Phương trình mũ và một số phương pháp giải
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0$ là
$\begin{array}{l}{4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^{{x^2}}}} \right)^2} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{2^{{x^2}}} - 4} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} = 4\\{2^{{x^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt 2 \\x = 0\end{array} \right.\end{array}$
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?
Ý A: Điều kiện $x > 0$. Có ${x^{\frac{2}{3}}} + 5 > 0,\forall x > 0$ nên phương trình vô nghiệm
Ý B: Điều kiện $x > 4$. Có ${\left( {3x} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\left( {x - 4} \right)^{\frac{2}{3}}} > 0,\forall x > 4$ nên phương trình vô nghiệm
Ý C: Điều kiện $x \ge 2$. Có $\sqrt {4x - 8} + 2 > 0,\forall x \ge 2$ nên phương trình vô nghiệm
Ý D: Điều kiện $x > 0$. Có $2{x^{\frac{1}{2}}} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{2}}}\dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn)
Cho $a$ là số thực dương, khác $1$ và thỏa mãn $\dfrac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1$ . Tìm $\alpha $
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \({a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}\; \geqslant 2\) .
Dấu "=" xảy ra khi \({a^\alpha } = {a^{ - \alpha }}\). Điều này dẫn đến \(\alpha = - \alpha \Rightarrow \alpha = 0\)
Cho \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\). Khi đó biểu thức \(P = \dfrac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \dfrac{a}{b}\) với \(\dfrac{a}{b}\) tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tích \(a.b\) có giá trị bằng
\(\begin{array}{l}{4^x} + {4^{ - x}} = 7\\{4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\end{array}\)
(do \({2^x} + {2^{ - x}} > 0\))
Vậy
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5 - 3}}{{8 + 4.3}} = \dfrac{1}{{10}}\\ \Rightarrow a = 1,b = 10 \Rightarrow a.b = 1.10 = 10\end{array}\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\) có nghiệm dương?
Ta có \({16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\)(1)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + m - 2 = 0\); chia cả hai vế cho \({9^x}\).
Đặt \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t \Rightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}t > 0 \Leftrightarrow t > 1\)
Khi đó ta có phương trình \({t^2} - 2t + m - 2 = 0\)(*)
Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.
(*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\)
Với \(m \le 3\) thì \(\left( * \right)\) có nghiệm \({t_1} = 1 - \sqrt {3 - m} ,{t_2} = 1 + \sqrt {3 - m} \)
Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì
\(1 + \sqrt {3 - m} > 1 \Leftrightarrow \sqrt {3 - m} > 0\) \( \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)
Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\).
Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Phương trình \({2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x\) có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây:
\({2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x \Leftrightarrow {2^{23{x^3} + x}} + 23{x^3} + x = {2^{10{x^2}}} + 10{x^2}\)
Xét hàm số \(f(t) = {2^t} + t;f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t\)
\( \Rightarrow f(23{x^3} + x) = f(10{x^2}) \Leftrightarrow 23{x^3} + x = 10{x^2} \Leftrightarrow x(23{x^2} - 10x + 1) = 0\)
Theo vi-et cho phương trình bậc 3 ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a} = \dfrac{{10}}{{23}} \approx 0,45\)
