Tích có hướng và ứng dụng

Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ.

Công thức xác định tọa độ tích có hướng $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)$

Ta có:

$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;0 - 1} \right) = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$

- Tích có hướng của hai véc tơ thì vuông góc với cả hai véc tơ đó nhưng một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ thì chưa chắc đã là tích có hướng của hai véc tơ nên A sai.

- Tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên nó cùng phương với véc tơ $\overrightarrow u$, do đó B sai, C đúng.

- Véc tơ $\overrightarrow u$ chỉ cùng phương với véc tơ tích có hướng chứ chưa chắc nó đã là véc tơ đối nên D sai.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] =  - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương $\overrightarrow {{u_2}}$.

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương, khi đó $\overrightarrow {{u_1}}  = k\overrightarrow {{u_2}}$ hoặc $\overrightarrow {{u_2}}  = k\overrightarrow {{u_1}}$ hoặc $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0$.

Tích vô hướng của hai vecto cùng phương là một số thực khác $0$ nên đáp án D sai.

Do đó các đáp án A, B, C đúng.

Ta có: $\overrightarrow u  = k\overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2k\\1 = 2k\\b = kc\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{2}\\a =  - 1\\b = \dfrac{1}{2}c\end{array} \right. \Rightarrow c = 2b$

Vì tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên:

$\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}}  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array}$

Do đó các đáp án A, C, D đúng.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}}  = 0 \Leftrightarrow$ ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}}$  đồng phẳng.

Ta có: $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

Ta có: $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \left( {0; - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \\\overrightarrow {OB}  = \left( {1;0; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \end{array}$

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;3;2} \right)$

$\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {2^2}}  = \sqrt {17}$

Do đó $\sin \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{\sqrt {13} .\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{17}}{{26}}}$

Tam giác $ABC$ có ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$.

Ta có: $\overrightarrow {OB}  = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {OC}  = \left( { - 2;0;0} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)$

Do đó ${S_{OBC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {0 + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}}  = 2$

Công thức tính diện tích hình bình hành ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$

Diện tích hình bình hành ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$

Hai công thức sau có được từ việc suy luận diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng hai lần diện tích tam giác $ABC$ hoặc tam giác $DCB$.

Chỉ có đáp án D là công thức sai.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;0} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}1\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;2} \right)$

Do đó diện tích hình bình hành ${S_{ABCD}}$ là:

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5$

Công thức tính thể tích tứ diện $ABCD$ là ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

Ta có: $\overrightarrow {OB}  = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {OC}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {OD}  = \left( {0;0; - 3} \right)$

Do đó $\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right)$

Suy ra ${V_{OBCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right].\overrightarrow {OD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {0.0 + 0.0 + 2.\left( { - 3} \right)} \right| = 1$