Tính đơn điệu của hàm số

Hàm số $y$ = $f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ nên:

Với mọi ${x_1},{x_2}$ $\in$ $D$ mà ${x_1} > {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right)$ > $f\left( {{x_2}} \right)$.

Sử dụng định lý về xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng đã nêu ở phần phương pháp, ở đây khoảng $K=(a;b)$ ta được:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {a;b} \right)$.

Hàm số $y = f'\left( x \right)$ dương trong khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$  Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$

Từ bảng biến thiên ta thấy: $f'\left( x \right) > 0$ trên $\left( {2;3} \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( {2;3} \right)$.

$f'\left( x \right) < 0$ trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

TXĐ: $R$.

Ta có:

$y'=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

$f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 3{x^2} + 12x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2;x =  - 1$

Ta có: $y' < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {2; + \infty } \right)$ và $y' > 0,\forall x \in \left( { - 1 ; 2} \right)$ nên nó đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;2} \right)$.

Đối chiếu với các đáp án đã cho ta thấy các Đáp án A, B, C đều đúng vì các khoảng đó đều là khoảng nằm trong khoảng nghịch biến hoặc đồng biến của hàm số, chỉ có đáp án D sai.

Ta có: $f'\left( x \right) = 2{x^2} \ge 0,\forall x \in R$ và $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Đáp án A: Nếu $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x\in \left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ chưa chắc đã đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$, chẳng hạn hàm số $y = f\left( x \right) = 2$ có $f'\left( x \right) = 0 \ge 0,\forall x$ nhưng đây là hàm hằng nên không đồng biến, do đó A sai.

Đáp án B: Nếu $f'\left( x \right) > 0,\forall x\in \left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$ đúng.

Đáp án C: Nếu $f'\left( x \right) = 0,\forall x\in \left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ không đổi trên $\left( {a;b} \right)$, chưa chắc nó đã có giá trị bằng $0$ nên C sai.

Đáp án D: Nếu $f'\left( x \right) \le 0,\forall x\in \left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ không đổi trên $\left( {a;b} \right)$ sai.

TXĐ: $D=R$ 

Ta có:  $y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $- 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \in R \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $R.$

Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $- 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \in R$

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$

+) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

Vì $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 5;5} \right)$ nên $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 5;5} \right)$.

Vậy $f'\left( 0 \right) \le 0$.

Ta có: $f'\left( x \right) = {x^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.$ và $f'\left( x \right) = {x^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 2$

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;2} \right)$.

A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.

Ta có: $y' = {x^2} + 2m{\rm{x}} - m$

Vì $a=1>0$ nên hàm số đồng biến trên $R$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2m{\rm{x}} - m \ge 0$,$\forall x \in R$$\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} + m \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0$ 

Ta có : $y' =  - 3{x^2} - 2x + m$

Để hàm số $y$ là hàm số nghịch biến trên $R$ thì $y' \le 0,\forall x \in R$ $\Leftrightarrow  - 3{x^2} - 2x + m \le 0,\forall x \in R$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta ' = 1 + 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{1}{3}$.

Ta có: $y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6m{\rm{x}}$$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2m$

Trường hợp 1: $m < 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ đồng biến với mọi $m < 0$(loại)

Trường hợp 2: $m = 0$

Với $m=0$ thì $y'=3x^2 \ge 0$ nên hàm số đồng biến trên $R$ .

Do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$ (loại)

Trường hợp 3: $m > 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow 2m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$

Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $- 2 < x < 0$)

Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có:

$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$

Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$

Suy ra $g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ hay $- \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$

Khi đó $4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le  - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{1}{3}$

Vậy $m \leqslant  - \dfrac{1}{3}$

Ta có:

$g'\left( x \right)  = \left[ {f\left( {1 - x} \right)} \right]' = \left( {1 - x} \right)'f'\left( {1 - x} \right)=  - f'\left( {1 - x} \right)$

$=  - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1 - x - 2} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]$ $=  - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( { - 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right)$

Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$

$\Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 5 \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$ (do $x + 1 < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$)

$\Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5 \ge  - m\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$

$\Leftrightarrow  - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right]} h\left( x \right)$.

Ta có $h'\left( x \right) = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2$.

BBT:

Dựa vào BBT ta có $- m \le  - 9 \Leftrightarrow m \ge 9$.

Mà $m \in \left[ { - 2019;2019} \right]$ và $m$ nguyên nên $m \in \left[ {9;10;11;...;2019} \right]$ hay có $2019 - 9 + 1 = 2011$ giá trị của $m$ thỏa mãn.

Ta có: $y' = f'\left( {x - 1} \right) + 2x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0$.

Đặt $t = x - 1$ ta có $f'\left( t \right) + 2t = 0$ $\Leftrightarrow f'\left( t \right) - \left( { - 2t} \right) = 0$.

Vẽ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và $y =  - 2t$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Xét $y' \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) \ge  - 2t \Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ nằm trên đường thẳng $y =  - 2t$.

Xét $x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow$ thỏa mãn.

Xét $x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Xét $x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Xét $x \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 3; - 2} \right) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\,0} \right)$ và $\left( {2;\, + \infty } \right).$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {0;\,\,2} \right).$

Xét hàm số: $y =  - 2f\left( x \right)$ ta có: $y' =  - 2f'\left( x \right).$

Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow  - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.$

Vậy hàm số $y =  - 2f\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].$