Bài toán đếm
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)
Số các hoán vị của \(10\) phần tử là:
Số các hoán vị khác nhau của \(10\) phần tử là \({P_{10}} = 10!\).
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
Có \(2\) phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.
- Có \(17\) cách chọn lớp trưởng là nam.
- Có \(11\) cách chọn lớp trưởng là nữ.
Vậy có tất cả \(17 + 11 = 28\) cách chọn lớp trưởng.
Có bao nhiêu số có \(5\) chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5\)?
Gọi số thỏa mãn bài toán là: \(\overline {abcde} \).
Mỗi số có \(5\) chữ số thỏa mãn bài toán là một hoán vị của \(5\) chữ số trên.
Số các số là \(5! = 120\) (số).
Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$
Một đội văn nghệ đã chuẩn bị \(3\) bài múa, \(4\) bài hát và \(2\) vở kịch. Thầy giáo yêu cầu đội chọn biểu diễn một vở kịch hoặc một bài hát. Số cách chọn bài biểu diễn của đội là:
Có \(2\) phương án chọn bài biểu diễn là bài hát hoặc vở kịch.
- Có \(4\) cách chọn bài hát.
- Có \(2\) cách chọn vở kịch.
Vậy có tất cả \(2 + 4 = 6\) cách chọn bài biểu diễn.
Số chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) phần tử là:
Số chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) phần tử là \(A_9^5\).
Muốn đi từ $A$ đến $B$ thì bắt buộc phải đi qua $C.$ Có \(3\) con đường đi từ $A$ tới $C$ và \(2\) con đường từ $C$ đến $B.$ Số con đường đi từ $A$ đến $B$ là:
Có \(2\) công đoạn đi từ \(A\) đến \(B\) là: đi từ \(A\) đến \(C\) và đi từ \(C\) đến \(B\).
- Có \(3\) con đường từ \(A\) đến \(C\).
- Có \(2\) con đường từ \(C\) đến \(B\).
Vậy có \(3.2 = 6\) con đường đi từ \(A\) đến \(B\).
Số các số có \(4\) chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số \(2,4,6,7,8,9\) là:
Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) phần tử.
Số các số là: \(A_6^4 = 360\) số.
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(C_n^k\).
Có bao nhiêu số có \(3\) chữ số được lập thành từ các chữ số \(3,2,1\)?
Gọi số thỏa mãn bài toán là \(\overline {abc} \).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(a\).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(b\).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(c\).
Vậy có \(3.3.3 = 27\) số tạo thành từ các chữ số \(3,2,1\).
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là \(C_7^6 = 7\).
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?
Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)\), \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\)
Vì \(\overline {abcd} \) là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \)
\(\Rightarrow \) Có $3$ cách chọn $d.$
Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$
$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$
$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)
Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$ bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\) vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\) bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?
Chọn $1$ vở kịch có $2$ cách
Chọn $1$ điệu múa có $3$ cách.
Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: \(2.3.6 = 36\) cách
Một lớp có \(40\) học sinh. Số cách chọn ra \(5\) bạn để làm trực nhật là:
Mỗi cách chọn ra \(5\) bạn là một tổ hợp chập \(5\) của \(40\).
Do đó số cách chọn là \(C_{40}^5\).
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là:
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
Có bao nhiêu cách sắp xếp $8$ viên bi đỏ khác nhau và $8$ viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau?
Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.
Có $8$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.
Có $7$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.
...
Có $1$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.
Suy ra có $8.7.6.5.4.3.2.1$ cách xếp viên bi đỏ.
Tương tự có $8.7.6.5.4.3.2.1$ cách xếp viên bi đen.
Vậy có \({\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2}\) cách xếp.
Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: $2.{\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2} = 3251404800$
Biển đăng kí xe ô tô có $6$ chữ số và hai chữ cái trog $26$ chữ cái (không dùng các chữ $I$ và $O$ ). Chữ số đầu tiên khác $0$. Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất có thể là bao nhiêu?
Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước.
Chữ cái đầu tiên có $24$ cách chọn.
Chữ cái tiếp theo cũng có $24$ cách chọn.
Chữ số đầu tiên có $9$ cách chọn.
Chữ số thứ hai có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ ba có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ tư có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ năm có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ sáu có $10$ cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có \({24.24.9.10^5} = {5184.10^5}\) là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí.
Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.
Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.
Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có \(A_5^4 = 120\) số.
Trên giá sách có $10$ quyển Văn khác nhau, $8$ quyển sách Toán khác nhau và $6$ quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
Theo quy tắc nhân ta có:
$10.8 = 80$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.
$10.6 = 60$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
$8.6 = 48$ cách chọn một quyển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là: $80 + 60 + 48 = 188$ cách.
