Bài toán đếm
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn $1000$ được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số.
TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)\) suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ .
Vậy có $4.4.3 = 48$ số.
TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$?
Có $4.4 = 16$ số.
TH3: Số có $1$ chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$?
Có $5$ số.
Vậy có có tất cả $69$ số.
Một nhóm $9$ người gồm $3$ đàn ông, $4$ phụ nữ và $2$ đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai người phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau.
Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho $3$ người đàn ông ngồi.
- Người đàn ông thứ nhất có $3$ cách xếp.
- Người đàn ông thứ hai có $2$ cách xếp.
- Người đàn ông thứ ba có $1$ cách xếp
Nên số cách xếp ba vị trí cho $3$ người đàn ông là $3.2.1 = 6$ cách.
Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có $4.3.2.1 = 24$ cách.
Hai vị trí cho trẻ em ngồi có $2.1 = 2$ cách.
Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.
Theo quy tắc cộng ta có: $3.6.24.2 = 864$ cách.
Một nhóm $4$ đường thẳng song song cắt một nhóm $5$ đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?
Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành hình bình hành.
Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và $2$ đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.
Bước 2: Tìm số hình bình hành.
Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $4$ đường thẳng song song có \(C_4^2 = 6\) cách.
Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $5$ đường thẳng song song có \(C_5^2 = 10\) cách.
Vậy có tất cả $6.10 = 60$ hình bình hành được tạo thành.
Với các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số, trong đó chữ số $1$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng $1$ lần.
Do chữ số $1$ có mặt $3$ lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ $8$ số $0,1,1,1,2,3,4,5$.
Chọn số cho ô đầu tiên có $7$ cách.
Chọn số cho ô thứ hai có $7$ cách.
…
Chọn số cho ô thứ $8$ có $1$ cách.
Suy ra có $7.7.6.5.4.3.2.1 = 7.7!$ cách xếp $8$ chữ số $0,1,1,1,2,3,4,5$ vào $8$ ô.
Mặt khác chữ số $1$ lặp lại $3$ lần nên số cách xếp là \(\dfrac{{7.7!}}{{3!}} = 5880\) số.
Từ $5$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng trắng và $4$ bông hoa hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm $7$ bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất $3$ bông hoa hồng vàng và ít nhất $3$ bông hoa hồng đỏ?
TH1: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng và $4$ bông hoa hồng đỏ.
Số cách chọn $3$ bông hồng vàng là \(C_5^3 = 10\) cách.
Số cách chọn $4$ bông hồng đỏ là \(C_4^4 = 1\) cách.
Theo quy tắc nhân thì có $10.1 = 10$ cách.
TH2: Chọn được $4$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \(C_5^4.C_4^3 = 20\) cách.
TH3: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng đỏ và $1$ bông hoa hồng trắng.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \(C_5^3.C_4^3.C_3^1 = 120\) cách.
Vậy theo quy tắc cộng ta có $10 + 20 + 120 = 150$ cách.
Một lớp có $8$ học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:
Số cách chọn ra $3$ người để bầu cho $3$ vị trí khác nhau là \(A_8^3 = 336\) (cách).
Cho $8$ bạn học sinh $A,B,C,D,E,F,G,H$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp $8$ bạn đó ngồi xung quanh một bàn tròn có $8$ ghế.
Ta thấy xếp các vị trí theo một hình tròn nên ta phải cố định vị trí của một bạn.
Ta chọn cố định vị trí của $A$ , sau đó xếp vị trí cho $7$ bạn còn lại.
Bạn thứ nhất có $7$ cách xếp.
Bạn thứ hai có $6$ cách xếp.
…
Bạn thứ 7 có $1$ cách xếp.
Vậy có $7.6.5.4.3.2.1 = 5040$ cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
Gọi số cần tìm là \(\overline {abcba} \)
Có $9$ cách chọn $a$ .
Có $10$ cách chọn $b$ .
Có $10$ cách chọn $c$ .
Vậy có $9.10.10 = 900$ số.
Cho tập $A = \left\{ {2;5} \right\}$. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số, các chữ số lấy từ tập $A$ sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?
TH1: Có $10$ chữ số $5$: Chỉ có duy nhất $1$ số.
TH2: Có $9$ chữ số $5$ và $1$ chữ số $2$ .
Xếp $9$ chữ số $5$ thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.
TH3: Có $8$ chữ số $5$ và $2$ chữ số$2$.
Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào $9$ vách ngăn đó, có \(C_9^2 = 36\) cách. Vậy trường hợp này có 36 số.
TH4: Có $7$ chữ số $5$ và $3$ chữ số $2$ .
Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có \(C_8^3 = 56\) cách. Vậy trường hợp này có 56 số.
TH5: Có $6$ chữ số $5$ và $4$ chữ số $2$ .
Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có \(C_7^4 = 35\) cách. Vậy trường hợp này có 35 số.
TH6: Có $5$ chữ số $5$ và $5$ chữ số $2$.
Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có \(C_6^5 = 6\) cách. Vậy trường hợp này có 6 số.
Theo quy tắc cộng ta có tất cả: $1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144$ số.
Trong mặt phẳng có $2010$ điểm phân biệt sao cho có ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu véc tơ mà có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc $2010$ điểm đã cho.
Với mỗi điểm đầu véc tơ thì có \(2009\) cách chọn điểm cuối véc tơ.
Có $2010$ cách chọn điểm đầu vecto.
Vậy có $2010.2009 = 4038090$ vecto.
Trong một tổ học sinh có $5$ em gái và $10$ em trai. Thùy là $1$ trong $5$ em gái và Thiện là $1$ trong $10$ em trai. Thầy chủ nhiệm chọn ra $1$ nhóm $5$ bạn tham gia buổi văn nghệ tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn?
Bài toán đối: tìm số cách chọn ra $5$ bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.
Bước 1: Chọn nhóm $3$ em trong $13$ em ($13$ em này không tính em Thùy và Thiện) có \(C_{13}^3 = 286\) cách.
Bước 2: Chọn $2$ em Thùy và Thiện có 1 cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì ta có $286$ cách chọn $5$ em mà trong đó có cả $2$ em Thùy và Thiện.
Chọn $5$ em bất kì trong số $15$ em thì ta có: \(C_{15}^5 = 3003\) cách.
Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả $3003-286 = 2717$ cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.
Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 5 quyển sách Hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau, 3 quyển Vật lý đứng cạnh nhau?
+) Số cách xếp \(4\) cuốn sách toán là \(4!\) cách.
+) Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho bộ Lý này là \(3!\) cách.
+) Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:
+ 1 bộ Toán.
+ 1 bộ Lý.
+ 5 quyển Hóa.
Thì sẽ có \(7!\) cách xếp.
Vậy theo quy tắc nhân ta có \(7!.4!.3! = 725760\) cách xếp.
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là:
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn \(3\) trong \(10\) đỉnh của đa giác, có \(C_{10}^3 = 120\).
Vậy có \(120\) tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác \(10\) cạnh.
Có $5$ viên bi đỏ và $5$ viên bi trắng kích thước đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi này thành một hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau?
Ta thấy điều kiện để xếp hai viên bi cùng màu không đứng cạnh nhau là phải xếp xen kẽ các viên bi.
Có $2$ cách chọn viên bi đầu tiên (có thể là đỏ hoặc trắng).
Trong mỗi cách chọn đó:
Số cách xếp các viên bi đỏ là:
Viên bi đỏ thứ nhất có $5$ cách xếp.
Viên bi đỏ thứ hai có $4$ cách xếp.
…
Viên bi đỏ thứ năm có $1$ cách xếp.
Theo quy tắc nhân ta có $5.4.3.2.1 = 120$ cách xếp.
Tương tự ta có: $120$ cách xếp $5$ viên bi xanh.
Vậy có tất cả $2.120.120 = 28800$ cách.
Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có $21$ đoàn viên nam và $15$ đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia $3$ nhóm về $3$ ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có $7$ đoàn viên nam và $5$ đoàn viên nữ?
Bước 1: Chọn $7$ nam trong $21$ nam và $5$ nữ trong $15$ nữ cho ấp thứ nhất.
Số cách chọn là \(C_{21}^7.C_{15}^5\) cách.
Bước 2: Chọn $7$ nam trong $14$ nam và $5$ nữ trong $10$ nữ cho ấp thứ hai
Số cách chọn là \(C_{14}^7.C_{10}^5\) cách.
Bước 3: Chọn $7$ nam trong $7$ nam và $5$ nữ trong $5$ nữ cho ấp thứ ba.
Số cách chọn là \(C_7^7.C_5^5 = 1\) cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: \(C_{21}^7.C_{15}^5.C_{14}^7.C_{10}^5\) cách.
Một dãy ghế dài có $10$ ghế. Xếp một cặp vợ chồng ngồi vào $2$ trong $10$ ghế sao cho người vợ ngồi bên phải người chồng (không bắt buộc ngồi gần nhau). Số cách xếp là:
Ta lần lượt đánh số các ghế từ $1$ đến $10$.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí $1$ thì có $9$ cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí $2$ thì có $8$ cách xếp người vợ.
….
Nếu người chồng ngồi ở vị trí $9$ thì có $1$ cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí $10$ thì có $0$ cách xếp người vợ.
Vậy có tất cả $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$ cách.
Cho dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ dãy số này lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 30000.
Gọi số có 5 chữ số cần tìm là: \(\overline {abcde} \) (\(a,b,c,d,e\) đều thuộc dãy số đã cho).
Vì \(\overline {abcde} < 30000\), nên:
\(a\) có 2 cách chọn.
\(b\) có 6 cách chọn.
\(c\) có 5 cách chọn.
\(d\) có 4 cách chọn.
\(e\) có 3 cách chọn.
\( \Rightarrow \) Lập được tất cả số các số có 5 chữ số: \(2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 720\) số.
Cho \(k,\,\,n\)\(\,(k < n)\) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?
Ta có:
\(C_n^k = C_n^{n - k},\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = k!C_n^k\) là các công thức đúng.
Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5\) có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau.
Gọi số cần tìm là \(\overline {abcd} \)
TH1 : \(d = 0\) thì
\(a\) có 5 cách chọn
\(b\) có 4 cách chọn
\(c\) có 3 cách chọn
Suy ra có \(1.5.4.3 = 60\) số chẵn có chữ số tận cùng là \(0.\)
TH2 : \(d \in \left\{ {2;4} \right\}\) thì \(d\) có 2 cách chọn
\(a\) có \(4\) cách chọn
\(b\) có 4 cách chọn
\(c\) có 3 cách chọn
Suy ra có \(2.4.4.3 = 96\) số
Vậy lập được tất cả \(96 + 60 = 156\) số thỏa mãn đề bài.
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.
Vậy số cách xếp là \({P_5} = 5! = 120\) (cách).
