Bài toán đếm

Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số.

TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)$ suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ .

Vậy có $4.4.3 = 48$  số.

TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$? 

Có $4.4 = 16$ số.

TH3: Số có $1$  chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$?

Có $5$ số.

Vậy có có tất cả $69$ số.

Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:

PA1: TNCNTNCNT.

PA2: TNTNCNCNT.

PA3: TNCNCNTNT.

Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho $3$  người đàn ông ngồi.

- Người đàn ông thứ nhất có $3$  cách xếp.

- Người đàn ông thứ hai có $2$  cách xếp.

- Người đàn ông thứ ba có $1$  cách xếp

Nên số cách xếp ba vị trí cho $3$  người đàn ông là $3.2.1 = 6$  cách.

Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có $4.3.2.1 = 24$  cách.

Hai vị trí cho trẻ em ngồi có $2.1 = 2$ cách.

Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.

Theo quy tắc cộng ta có: $3.6.24.2 = 864$ cách.

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành hình bình hành.

Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và $2$ đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Bước 2: Tìm số hình bình hành.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $4$ đường thẳng song song có $C_4^2 = 6$ cách.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $5$ đường thẳng song song có $C_5^2 = 10$ cách.

Vậy có tất cả $6.10 = 60$ hình bình hành được tạo thành.

Do chữ số $1$ có mặt $3$ lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ $8$  số $0,1,1,1,2,3,4,5$.

Chọn số cho ô đầu tiên có $7$  cách.

Chọn số cho ô thứ hai có $7$  cách.

…

Chọn số cho ô thứ $8$  có $1$  cách.

Suy ra có $7.7.6.5.4.3.2.1 = 7.7!$  cách xếp $8$  chữ số $0,1,1,1,2,3,4,5$ vào $8$ ô.

Mặt khác chữ số $1$  lặp lại $3$  lần nên số cách xếp là $\dfrac{{7.7!}}{{3!}} = 5880$ số.

TH1: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng và $4$  bông hoa hồng đỏ.

Số cách chọn $3$  bông hồng vàng là $C_5^3 = 10$ cách.

Số cách chọn $4$ bông hồng đỏ là $C_4^4 = 1$ cách.

Theo quy tắc nhân thì có $10.1 = 10$ cách.

TH2: Chọn được $4$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là $C_5^4.C_4^3 = 20$ cách.

TH3: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng đỏ và $1$  bông hoa hồng trắng.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là $C_5^3.C_4^3.C_3^1 = 120$ cách.

Vậy theo quy tắc cộng ta có $10 + 20 + 120 = 150$ cách.

Số cách chọn ra $3$  người để bầu cho $3$ vị trí khác nhau là $A_8^3 = 336$ (cách).

Ta thấy xếp các vị trí theo một hình tròn nên ta phải cố định vị trí của một bạn.

Ta chọn cố định vị trí của $A$ , sau đó xếp vị trí cho $7$  bạn còn lại.

Bạn thứ nhất có $7$  cách xếp.

Bạn thứ hai có $6$  cách xếp.

…

Bạn thứ 7 có $1$  cách xếp.

Vậy có $7.6.5.4.3.2.1 = 5040$  cách.

Gọi số cần tìm là $\overline {abcba}$

Có $9$  cách chọn $a$ .

Có $10$  cách chọn $b$ .

Có $10$  cách chọn $c$ .

Vậy có $9.10.10 = 900$  số.

TH1: Có $10$ chữ số $5$: Chỉ có duy nhất $1$ số.

TH2: Có $9$  chữ số $5$ và $1$  chữ số $2$ .

Xếp $9$  chữ số $5$  thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.

TH3: Có $8$ chữ số $5$ và $2$  chữ số$2$.

Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào $9$ vách ngăn đó, có $C_9^2 = 36$  cách. Vậy trường hợp này có 36 số.

TH4: Có $7$ chữ số $5$  và $3$ chữ số $2$ .

Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có $C_8^3 = 56$  cách. Vậy trường hợp này có 56 số.

TH5: Có $6$ chữ số $5$ và $4$ chữ số $2$ .

Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có $C_7^4 = 35$  cách. Vậy trường hợp này có 35 số.

TH6: Có $5$ chữ số $5$  và $5$ chữ số $2$.

Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có $C_6^5 = 6$  cách. Vậy trường hợp này có 6 số.

Theo quy tắc cộng ta có tất cả: $1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144$ số.

Với mỗi điểm đầu véc tơ thì có $2009$ cách chọn điểm cuối véc tơ.

Có $2010$  cách chọn điểm đầu vecto.

Vậy có $2010.2009 = 4038090$  vecto.

Bài toán đối: tìm số cách chọn ra $5$  bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.

Bước 1: Chọn nhóm $3$  em trong $13$ em ($13$ em này không tính em Thùy và Thiện) có $C_{13}^3 = 286$ cách.

Bước 2: Chọn $2$ em Thùy và Thiện có 1 cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì ta có $286$  cách chọn $5$  em mà trong đó có cả $2$  em Thùy và Thiện.

Chọn $5$ em bất kì trong số $15$  em thì ta có: $C_{15}^5 = 3003$ cách.

Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả $3003-286 = 2717$ cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.

+) Số cách xếp $4$ cuốn sách toán là $4!$ cách.

+) Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho bộ Lý này là $3!$ cách.

+) Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:

+ 1 bộ Toán.

+ 1 bộ Lý.

+ 5 quyển Hóa.

Thì sẽ có $7!$ cách xếp.

Vậy theo quy tắc nhân ta có $7!.4!.3! = 725760$ cách xếp.

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.

Chọn $3$ trong $10$ đỉnh của đa giác, có $C_{10}^3 = 120$.

Vậy có $120$ tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác $10$ cạnh.

Ta thấy điều kiện để xếp hai viên bi cùng màu không đứng cạnh nhau là phải xếp xen kẽ các viên bi.

Có $2$ cách chọn viên bi đầu tiên (có thể là đỏ hoặc trắng).

Trong mỗi cách chọn đó:

Số cách xếp các viên bi đỏ là:

Viên bi đỏ thứ nhất có $5$  cách xếp.

Viên bi đỏ thứ hai có $4$  cách xếp.

…

Viên bi đỏ thứ năm có $1$ cách xếp.

Theo quy tắc nhân ta có $5.4.3.2.1 = 120$  cách xếp.

Tương tự ta có: $120$ cách xếp $5$  viên bi xanh.

Vậy có tất cả $2.120.120 = 28800$  cách.

Bước 1: Chọn $7$ nam trong $21$ nam và $5$  nữ trong $15$  nữ cho ấp thứ nhất.

Số cách chọn là $C_{21}^7.C_{15}^5$ cách.

Bước 2: Chọn $7$ nam trong $14$ nam và $5$ nữ trong $10$ nữ cho ấp thứ hai

Số cách chọn là $C_{14}^7.C_{10}^5$ cách.

Bước 3: Chọn $7$ nam trong $7$  nam và $5$ nữ trong $5$ nữ cho ấp thứ ba.

Số cách chọn là $C_7^7.C_5^5 = 1$ cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $C_{21}^7.C_{15}^5.C_{14}^7.C_{10}^5$ cách.

Ta lần lượt đánh số các ghế từ $1$ đến $10$.

Nếu người chồng ngồi ở vị trí $1$ thì có $9$ cách xếp người vợ.

Nếu người chồng ngồi ở vị trí $2$ thì có $8$ cách xếp người vợ.

….

Nếu người chồng ngồi ở vị trí $9$ thì có $1$ cách xếp người vợ.

Nếu người chồng ngồi ở vị trí $10$ thì có $0$ cách xếp người vợ.

Vậy có tất cả $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$ cách.

Gọi số có 5 chữ số cần tìm là: $\overline {abcde}$  ($a,b,c,d,e$ đều thuộc dãy số đã cho).

Vì $\overline {abcde}  < 30000$, nên:

$a$ có 2 cách chọn.

$b$ có 6 cách chọn.

$c$ có 5 cách chọn.

$d$ có 4 cách chọn.

$e$ có 3 cách chọn.

$\Rightarrow$ Lập được tất cả số các số có 5 chữ số: $2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 720$ số.

Ta có:

$C_n^k = C_n^{n - k},\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = k!C_n^k$ là các công thức đúng.

Gọi số cần tìm là $\overline {abcd}$

TH1 : $d = 0$ thì

$a$ có 5 cách chọn

$b$  có 4 cách chọn

$c$ có 3 cách chọn

Suy ra có $1.5.4.3 = 60$ số chẵn có chữ số tận cùng là $0.$

TH2 : $d \in \left\{ {2;4} \right\}$ thì $d$ có 2 cách chọn

$a$ có $4$ cách chọn

$b$  có 4 cách chọn

$c$ có 3 cách chọn

Suy ra có $2.4.4.3 = 96$ số

Vậy lập được tất cả $96 + 60 = 156$ số thỏa mãn đề bài.

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.

Vậy số cách xếp là ${P_5} = 5! = 120$ (cách).