Bài toán tối ưu

Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

- Theo định nghĩa thì x+y0là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Các bất phương trình còn lại là bất phương trình bậc hai.

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho bất phương trình 2x+3y60(1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d):2x+3y6=0chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn điểm O(0;0) không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy (x;y)=(0;0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa điểm O(0;0) kể cả (d).

Vậy bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm.

Câu 3 Trắc nghiệm

Đề mẫu ĐGNL 2019

Một bác nông dân cần trồng lúa và khoai trên diện tích đất gồm 6 ha, với lượng phân bón dữ trữ là 100kg và sử dụng tối đa 120 ngày công. Để trồng 1 ha lúa cần sử dụng 20kg phân bón, 10 ngày công với lợi nhuận là 30 triệu đồng, để trồng 1 ha khoai cần sử dụng 10 kg phân bón, 30 ngày công với lợi nhuận là 60 triệu đồng. Để đạt được lợi nhuận cao nhất, bác nông dân đã trồng x(ha) lúa và y(ha) khoai. Giá trị của x là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Bước 1:

Gọi x,y (ha) lần lượt là diện tích đất cây trồng lúa và khoai (x,y>0).

Tổng diện tích lúa và khoai được trồng là x+y (ha).

Tổng lượng phân bón cần dùng là 20x+10y (kg).

Tổng số ngày công cần dùng là 10x+30y (ngày).

Lợi nhuận thu được là S(x;y)=30x+60y (triệu đồng)

Từ giả thiết ta được hệ bất phương trình thể hiện miền nghiệm là:

{x+y620x+10y10010x+30y120x0y0

Bước 2:

Ta biểu thị miền nghiệm của hệ bất phương trình bởi bằng đồ thị:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD vớ O(0;0),A(0;4),B(3;3),C(4;2),D(5;0).

Bước 3:

Khi đó S(x;y) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm O, A, B, C, D.

Ta có:

S(O)=S(0;0)=30.0+60.0=0S(A)=S(0;4)=30.0+60.4=240S(B)=S(3;3)=30.3+60.3=270S(C)=S(4;2)=30.4+60.2=240S(D)=S(5;0)=30.5+60.0=150

Ta thấy S(3;3)=270 là giá trị lớn nhất khi x=y=3.

Vậy x=3.

Câu 4 Trắc nghiệm

Miền nghiệm của bất phương trình x+2+2(y2)<2(1x) không chứa điểm:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: x+2+2(y2)<2(1x)x+2+2y4<22xx+2y<4

Dễ thấy tại điểm (4;2) ta có: 4+2.2=8>4 nên điểm (4;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Câu 5 Trắc nghiệm

Một công ty kinh chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm mục đích thu hút khác hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên internet và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên internet là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Trang internet chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo ngắn nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dì tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên internet. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên internet và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Bước 1:

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên internet là x (phút)(x0), trên truyền hình là y (phút)(y0).

Bước 2:

Chi phí cho việc quảng cáo là 800000x+4000000y.

Vì mức chi phí tối đa là 16.000.000 đồng nên ta có bất phương trình:

800000x+4000000y16000000x+5y200

Do các điều kiện của internet và truyền hình nên ta có: x5,y4.

Hiệu quả chung của quảng cáo là x+6y.

Bước 3:

Bài toán trở thành: Xác định x,y sao cho M(x;y)=x+6y đạt giá trị lớn nhất.

Với điều kiện {x+5y200x5y0y4()

Bước 4:

Xác định miền nghiệm của hệ (*):

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng (d):x+5y20=0;(d):x=5;(d.

Khi đó miền nghiệm của hệ (*) là phần mặt phẳng (tam giác) bị tô màu trên hình vẽ

Bước 5:

M\left( {x;y} \right) = x + 6y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm \left( {5;3} \right),\left( {5;0} \right),\left( {20;0} \right).

Ta có: M\left( {5;3} \right) = 23;M\left( {5;0} \right) = 5;M\left( {20;0} \right) = 20.

Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên internet là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Câu 6 Trắc nghiệm

Cho bất phương trình - 2x + \sqrt 3 y + \sqrt 2 \le 0 có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta thấy \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 .0 + \sqrt 2  = 0 nên B đúng.

Ngoài ra khi ta thay tọa độ các điểm ở đáp án A, C, D ta thấy \left( {1;1} \right) \notin S\left( {1; - 2} \right) \in S và \left( {1;0} \right) \in S nên A, C, D đều sai

Câu 7 Trắc nghiệm

Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - 1 > 0}\\{5x - y + 4 < 0}\end{array}} \right.?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình ta thấy chỉ có điểm \left( {0;0} \right) không thỏa mãn hệ.

Câu 8 Trắc nghiệm

Người ta dùng 100\,{\rm{m}} rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào được?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y(x, y > 0; y là cạnh của bức tường).

Ta có: 2x + y = 100.\left( 1 \right).

Diện tích hình chữ nhật là S = xy = 2.x.\dfrac{y}{2}\mathop  \le \limits^{Cosi} 2.{\left( {\dfrac{{x + \dfrac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{8}{\left( {2x + y} \right)^2} = \dfrac{1}{8}{\left( {100} \right)^2} = 1250.

Vậy {S_{\max }} = 1250\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}. Đạt được khi x = \dfrac{y}{2} \Leftrightarrow y = 2x \Rightarrow x = 25\,{\rm{m}}; y = 50\,{\rm{m}}.

Câu 9 Trắc nghiệm

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi \,x,y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm \,x,y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x + 110.y với \,x,y thỏa mãn: \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right..

Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x + 0,6.y \ge 0,9 \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\left( {{d_1}} \right).

Số đơn vị lipit gia đình có là0,2.x + 0,4.y \ge 0,4 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2 \left( {{d_2}} \right).

Bài toán trở thành: Tìm x,y thỏa mãn hệ bất phương trình \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right. sao cho T = 160.x + 110.y nhỏ nhất.

Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A\left( {1,6;\,1,1} \right); B\left( {1,6;\,0,2} \right); C\left( {0,6;\,0,7} \right); D\left( {0,3;\,1,1} \right).

Nhận xét: T\left( A \right) = 377 nghìn, T\left( B \right) = 278 nghìn, T\left( C \right) = 173 nghìn, T\left( D \right) = 169 nghìn.

Ta thấy, T(D) nhỏ nhất nên x=0,3, y=1,1.

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì x = 0,3y = 1,1.

Câu 10 Trắc nghiệm

Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình 3x - 2y >  - 6

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Trước hết, ta vẽ đường thẳng \left( d \right):3x - 2y =  - 6.

Ta thấy \left( {0\,\,;\,\,0} \right) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ \left( d \right) chứa điểm \left( {0\,\,;\,\,0} \right).

Câu 11 Trắc nghiệm

Cho hệ bất phương trình \left\{ \begin{array}{l}2x - \dfrac{3}{2}y \ge 1\\4x - 3y \le 2\end{array} \right. có tập nghiệm S. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Dễ thấy x =  - \dfrac{1}{4};y =  - 1 thỏa mãn cả hai bất phương trình nên \left( { - \dfrac{1}{4}; - 1} \right) \in S, do đó A sai.

Ta sẽ biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

\left( {{d_1}} \right):2x - \dfrac{3}{2}y = 1

\left( {{d_2}} \right):4x - 3y = 2

Thử trực tiếp ta thấy \left( {0\,\,;\,\,0} \right) là nghiệm của bất phương trình (2) vì 4.0-3.0 < 2 (đúng)

Nhưng (0;0) không phải là nghiệm của bất phương trình (1) vì 2.0 - \dfrac{3}{2}.0 < 1.

Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng \left( d \right):4x - 3y = 2.

Câu 12 Trắc nghiệm

Cho hệ \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 5\,\,\,(1)\\x + \dfrac{3}{2}y < 5\,\,\,(2)\end{array} \right.. Gọi {S_1} là tập nghiệm của bất phương trình (1), {S_2} là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

     \left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 5

     \left( {{d_2}} \right):x + \dfrac{3}{2}y = 5

Ta thấy \left( {0\,\,;\,\,0} \right) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 13 Trắc nghiệm

Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right):y = 0 và đường thẳng \left( {{d_2}} \right):3x + 2y = 6.

Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương.

Lại có \left( {0\,\,;\,\,0} \right) thỏa mãn bất phương trình 3x + 2y < 6.

Câu 14 Trắc nghiệm

Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn bệ A, B, C, D ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

Đường thẳng \left( {{d_1}} \right) là trục tung Oy nên có phương trình x=0.

Đường thẳng \left( {{d_2}} \right) đi qua hai điểm (0;2) và (\dfrac{5}{2};0) nên có phương trình \frac{x}{{\frac{5}{2}}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{5} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 5y = 10

Đường thẳng \left( {{d_3}} \right) đi qua các điểm (2;0) và (0;-\dfrac{5}{2}) nên có phương trình \frac{x}{2} + \frac{y}{{ - \frac{5}{2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{{2y}}{5} = 1 \Leftrightarrow 5x - 4y = 10

Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị x dương (kể cả bờ \left( {{d_1}} \right)).

Lại có \left( {0\,\,;\,\,0} \right) là nghiệm của cả hai bất phương trình 4x + 5y \le 105x - 4y \le 10.

Vậy miền tam giác ABC biểu diễn nghiệm của hệ câu C.

Câu 15 Trắc nghiệm

Một hình chữ nhật ABCDAB = 8AD = 6. Trên đoạn AB lấy điểm E thỏa BE = 2 và trên CD lấy điểm G thỏa CG = 6. Người ta cần tìm một điểm F trên đoạn BC sao cho ABCD được chia làm hai phần màu trắng và màu xám như hình vẽ. Và diện tích phần màu xám bé hơn ba lần diện tích phần màu trắng. Điều kiện cần và đủ của điểm F

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Gọi BF = x > 0, ta có {S_{BEF}} + {S_{GFC}} = \dfrac{1}{2}BE.BF + \dfrac{1}{2}CF.CG = x + 3\left( {6 - x} \right) = 18 - 2x.

{S_{ABCD}} = AB.AD = 48. Theo yêu cầu bài toán: {S_{BEF}} + {S_{GFC}} > \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 18 - 2x > \dfrac{1}{4}.48

\Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow x < 3.

Câu 16 Trắc nghiệm

Cho hệ bất phương trình \left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\3x + 5y \le 15\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

     \left( {{d_1}} \right):x - y = 2

     \left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15

     \left( {{d_3}} \right):x = 0

     \left( {{d_4}} \right):y = 0

- Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên nên A đúng.

- Đáp án B sai vì nếu m = 5 ta vẽ đường thẳng x + y = 5 sẽ không có giao điểm với miền nghiệm của hệ.

- Ta sẽ tìm GTLN, GTNN của biểu thức F\left( {x;y} \right) = x + y với \left( {x;y} \right) là nghiệm của hệ.

Ta có:

\begin{array}{l}F\left( {0;3} \right) = 0 + 3 = 3,F\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{9}{8}} \right) = \dfrac{{25}}{8} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{{17}}{4},\\F\left( {2;0} \right) = 2 + 0 = 2,F\left( {0;0} \right) = 0 + 0 = 0\end{array}

Câu 17 Trắc nghiệm

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm III. Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x, y nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 180\\x + 6y \le 220\\x > 0\\y > 0\end{array} \right.

Miền nghiệm của hệ trên là

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0,5x + 0,4y (triệu đồng).

Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C. Vì C có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại A\left( {60; 0} \right) thì T = 30 triệu đồng.

Tại B\left( {40; 30} \right) thì T = 32 triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.

Câu 18 Trắc nghiệm

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.

+ Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;

+ Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.

Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Giả sử x,{\rm{ }}y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.

Suy ra 30x + 10y là số gam đường cần dùng;

    x + y là số lít nước cần dùng;

    x + 4y là số gam hương liệu cần dùng.

Theo giả thiết ta có \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right.. \left( * \right)

Số điểm thưởng nhận được sẽ là P\left( {x;y} \right) = 60x + 80y.

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x,{\rm{ }}y thỏa mãn \left( * \right).

Miền nghiệm là phần hình vẽ không tô màu ở hình trên, hay là ngũ giác OBCDE với O\left( {0;0} \right),B\left( {0;6} \right),C\left( {4;5} \right),D\left( {6;3} \right),E\left( {7;0} \right).

Biểu thức P = 60x + 80y đạt GTLN tại \left( {x;y} \right) là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Thay lần lượt tọa độ các điểm O,B,C,D,E vào biểu thức P\left( {x;y} \right) ta được:

P\left( {0;0} \right) = 0;P\left( {0;6} \right) = 480;P\left( {4;5} \right) = 640;P\left( {6;3} \right) = 600;P\left( {7;0} \right) = 420

Câu 19 Trắc nghiệm

Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y - x trên miền xác định bởi hệ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right. là.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right. trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức F = y - x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A,B hoặc C.

Ta có: F\left( A \right) = 4 - 1 = 3;\,F\left( B \right) = 2;\,F\left( C \right) = 3 - 2 = 1.

Vậy {\rm{min }}F = 1 khi x = 2,y = 3.

Câu 20 Trắc nghiệm

Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin AB đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin Avà không quá 500 đơn vị vitamin B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi x \ge 0,{\rm{ }}y \ge 0 lần lượt là số đơn vị vitamin AB để một người cần dùng trong một ngày.

Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có: 400 \le x + y \le 1000.

Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin Avà không quá 500 đơn vị vitamin Bnên ta có: x \le 600,{\rm{ }}y \le 500.

Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin Anên ta có: 0,5x \le y \le 3x.

Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T\left( {x,y} \right) = 9x + 7,5y.

Bài toán trở thành: Tìm x \ge 0,{\rm{ }}y \ge 0 thỏa mãn hệ \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 600,0 \le y \le 500\\400 \le x + y \le 1000\\0,5x \le y \le 3x\end{array} \right. để T\left( {x,y} \right) = 9x + 7,5y đạt giá trị nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ :

Miền nghiệm là lục giác ABCDEF với
\begin{array}{l}A\left( {\dfrac{{500}}{3};500} \right),B\left( {100;300} \right),C\left( {\dfrac{{800}}{3};\dfrac{{400}}{3}} \right)\\D\left( {600;300} \right),E\left( {600;400} \right),F\left( {500;500} \right)\end{array}

Thay tọa độ các điểm A,B,C,D,E,F vào biểu thức T\left( {x,y} \right) = 9x + 7,5y và tìm GTNN của nó ta được:

\begin{array}{l}T\left( {\dfrac{{500}}{3};500} \right) = 5250,T\left( {100;300} \right) = 3150,T\left( {\dfrac{{800}}{3};\dfrac{{400}}{3}} \right) = 3400\\T\left( {600;300} \right) = 7650,T\left( {600;400} \right) = 8400,T\left( {500;500} \right) = 8250\end{array}

Vậy \min T\left( {x;y} \right) = 3150 khi x = 100;y = 300