Bài toán tối ưu

- Theo định nghĩa thì \(x + y \ge 0\)là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Các bất phương trình còn lại là bất phương trình bậc hai.

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 6 = 0\,\,\)chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(\left( d \right)\) chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) kể cả \(\left( d \right)\).

Vậy bất phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có vô số nghiệm.

Bước 1:

Gọi \(x,y\) (ha) lần lượt là diện tích đất cây trồng lúa và khoai \(\left( {x,y > 0} \right)\).

Tổng diện tích lúa và khoai được trồng là \(x + y\) (ha).

Tổng lượng phân bón cần dùng là \(20x + 10y\) (kg).

Tổng số ngày công cần dùng là \(10x + 30y\) (ngày).

Lợi nhuận thu được là \(S\left( {x;y} \right) = 30x + 60y\) (triệu đồng)

Từ giả thiết ta được hệ bất phương trình thể hiện miền nghiệm là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 6\\20x + 10y \le 100\\10x + 30y \le 120\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Bước 2:

Ta biểu thị miền nghiệm của hệ bất phương trình bởi bằng đồ thị:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác \(OABCD\) vớ \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {4;2} \right),D\left( {5;0} \right)\).

Bước 3:

Khi đó \(S\left( {x;y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm O, A, B, C, D.

Ta có:

\(\begin{array}{l}S\left( O \right) = S\left( {0;0} \right) = 30.0 + 60.0 = 0\\S\left( A \right) = S\left( {0;4} \right) = 30.0 + 60.4 = 240\\S\left( B \right) = S\left( {3;3} \right) = 30.3 + 60.3 = 270\\S\left( C \right) = S\left( {4;2} \right) = 30.4 + 60.2 = 240\\S\left( D \right) = S\left( {5;0} \right) = 30.5 + 60.0 = 150\end{array}\)

Ta thấy \(S\left( {3;3} \right) = 270\) là giá trị lớn nhất khi \(x = y = 3\).

Vậy \(x = 3\).

Ta có: \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow  - x + 2 + 2y - 4 < 2 - 2x\)\( \Leftrightarrow x + 2y < 4\)

Dễ thấy tại điểm \(\left( {4;\,2} \right)\) ta có: \(4 + 2.2 = 8 > 4\) nên điểm $(4;2)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Bước 1:

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên internet là x (phút)\(\left( {x \ge 0} \right)\), trên truyền hình là y (phút)\(\left( {y \ge 0} \right)\).

Bước 2:

Chi phí cho việc quảng cáo là \(800000x + 4000000y\).

Vì mức chi phí tối đa là 16.000.000 đồng nên ta có bất phương trình:

\(\begin{array}{l}800000x + 4000000y \le 16000000\\ \Leftrightarrow x + 5y - 20 \le 0\end{array}\)

Do các điều kiện của internet và truyền hình nên ta có: \(x \ge 5,y \le 4\).

Hiệu quả chung của quảng cáo là \(x + 6y\).

Bước 3:

Bài toán trở thành: Xác định \(x,y\) sao cho \(M\left( {x;y} \right) = x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất.

Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y - 20 \le 0\\x \ge 5\\y \ge 0\\y \le 4\end{array} \right.\left( * \right)\)

Bước 4:

Xác định miền nghiệm của hệ (*):

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \(\left( d \right):x + 5y - 20 = 0;\left( {d'} \right):x = 5;\)\(\left( {d''} \right):y = 4\).

Khi đó miền nghiệm của hệ (*) là phần mặt phẳng (tam giác) bị tô màu trên hình vẽ

Bước 5:

\(M\left( {x;y} \right) = x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm \(\left( {5;3} \right),\left( {5;0} \right),\left( {20;0} \right)\).

Ta có: \(M\left( {5;3} \right) = 23;M\left( {5;0} \right) = 5;\)\(M\left( {20;0} \right) = 20\).

Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên internet là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Ta thấy \(\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S\) vì \( - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 .0 + \sqrt 2  = 0\) nên B đúng.

Ngoài ra khi ta thay tọa độ các điểm ở đáp án A, C, D ta thấy \(\left( {1;1} \right) \notin S\), \(\left( {1; - 2} \right) \in S\) và \(\left( {1;0} \right) \in S\) nên A, C, D đều sai

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình ta thấy chỉ có điểm $\left( {0;0} \right)$ không thỏa mãn hệ.

Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là \(x\), \(y\)(\(x\), \(y > 0\); \(y\) là cạnh của bức tường).

Ta có: \(2x + y = 100\).\(\left( 1 \right)\).

Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = 2.x.\dfrac{y}{2}\mathop  \le \limits^{Cosi} 2.{\left( {\dfrac{{x + \dfrac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{8}{\left( {2x + y} \right)^2} = \dfrac{1}{8}{\left( {100} \right)^2} = 1250\).

Vậy \({S_{\max }} = 1250\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Đạt được khi \(x = \dfrac{y}{2} \Leftrightarrow y = 2x \Rightarrow x = 25\,{\rm{m}}\); \(y = 50\,{\rm{m}}\).

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là \(160.x + 110.y\) với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).

Số đơn vị protein gia đình có là \(0,8.x + 0,6.y \ge 0,9\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\)\(\left( {{d_1}} \right)\).

Số đơn vị lipit gia đình có là\(0,2.x + 0,4.y \ge 0,4 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\) \(\left( {{d_2}} \right)\).

Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \(T = 160.x + 110.y\) nhỏ nhất.

Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\); \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\); \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\); \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\).

Nhận xét: \(T\left( A \right) = 377\) nghìn, \(T\left( B \right) = 278\) nghìn, \(T\left( C \right) = 173\) nghìn, \(T\left( D \right) = 169\) nghìn.

Ta thấy, T(D) nhỏ nhất nên x=0,3, y=1,1.

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì \(x = 0,3\) và \(y = 1,1\).

Trước hết, ta vẽ đường thẳng \(\left( d \right):3x - 2y =  - 6.\)

Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ \(\left( d \right)\) chứa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right).\)

Dễ thấy \(x =  - \dfrac{1}{4};y =  - 1\) thỏa mãn cả hai bất phương trình nên \(\left( { - \dfrac{1}{4}; - 1} \right) \in S\), do đó A sai.

Ta sẽ biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

\(\left( {{d_1}} \right):2x - \dfrac{3}{2}y = 1\)

\(\left( {{d_2}} \right):4x - 3y = 2\)

Thử trực tiếp ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình (2) vì 4.0-3.0 < 2 (đúng)

Nhưng (0;0) không phải là nghiệm của bất phương trình (1) vì \(2.0 - \dfrac{3}{2}.0 < 1\).

Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng \(\left( d \right):4x - 3y = 2.\)

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

     \(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 5\)

     \(\left( {{d_2}} \right):x + \dfrac{3}{2}y = 5\)

Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 0\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):3x + 2y = 6.\)

Miền nghiệm gồm phần \(y\) nhận giá trị dương.

Lại có \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(3x + 2y < 6.\)

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) là trục tung Oy nên có phương trình x=0.

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) đi qua hai điểm (0;2) và \((\dfrac{5}{2};0)\) nên có phương trình \(\frac{x}{{\frac{5}{2}}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{5} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 5y = 10\)

Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua các điểm (2;0) và \((0;-\dfrac{5}{2})\) nên có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - \frac{5}{2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{{2y}}{5} = 1 \Leftrightarrow 5x - 4y = 10\)

Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị \(x\) dương (kể cả bờ \(\left( {{d_1}} \right)\)).

Lại có \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của cả hai bất phương trình \(4x + 5y \le 10\) và \(5x - 4y \le 10.\)

Vậy miền tam giác ABC biểu diễn nghiệm của hệ câu C.

Gọi \(BF = x > 0\), ta có \({S_{BEF}} + {S_{GFC}}\) \( = \dfrac{1}{2}BE.BF + \dfrac{1}{2}CF.CG\) \( = x + 3\left( {6 - x} \right) = 18 - 2x\).

\({S_{ABCD}} = AB.AD\)\( = 48\). Theo yêu cầu bài toán: \({S_{BEF}} + {S_{GFC}} > \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}} \Leftrightarrow \)\(18 - 2x > \dfrac{1}{4}.48\)

\( \Leftrightarrow 2x < 6\)\( \Leftrightarrow x < 3\).

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

     \(\left( {{d_1}} \right):x - y = 2\)

     \(\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15\)

     \(\left( {{d_3}} \right):x = 0\)

     \(\left( {{d_4}} \right):y = 0\)

- Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên nên A đúng.

- Đáp án B sai vì nếu \(m = 5\) ta vẽ đường thẳng \(x + y = 5\) sẽ không có giao điểm với miền nghiệm của hệ.

- Ta sẽ tìm GTLN, GTNN của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ.

Ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( {0;3} \right) = 0 + 3 = 3,F\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{9}{8}} \right) = \dfrac{{25}}{8} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{{17}}{4},\\F\left( {2;0} \right) = 2 + 0 = 2,F\left( {0;0} \right) = 0 + 0 = 0\end{array}\)

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm loại \(I\) và loại \(II\) được sản xuất ra. Điều kiện \(x\), \(y\) nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 180\\x + 6y \le 220\\x > 0\\y > 0\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ trên là

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là \(T = 0,5x + 0,4y\) (triệu đồng).

Ta thấy \(T\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\). Vì \(C\) có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại \(A\left( {60; 0} \right)\) thì \(T = 30\) triệu đồng.

Tại \(B\left( {40; 30} \right)\) thì \(T = 32\) triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là \(32\) triệu đồng.

Giả sử $x,{\rm{ }}y$ lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.

Suy ra $30x + 10y$ là số gam đường cần dùng;

    $x + y$ là số lít nước cần dùng;

    $x + 4y$ là số gam hương liệu cần dùng.

Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right..$ \(\left( * \right)\)

Số điểm thưởng nhận được sẽ là $P\left( {x;y} \right) = 60x + 80y.$

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) với \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \(\left( * \right)\).

Miền nghiệm là phần hình vẽ không tô màu ở hình trên, hay là ngũ giác \(OBCDE\) với \(O\left( {0;0} \right),B\left( {0;6} \right),C\left( {4;5} \right),D\left( {6;3} \right),E\left( {7;0} \right)\).

Biểu thức $P = 60x + 80y$ đạt GTLN tại \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Thay lần lượt tọa độ các điểm \(O,B,C,D,E\) vào biểu thức \(P\left( {x;y} \right)\) ta được:

\(P\left( {0;0} \right) = 0;P\left( {0;6} \right) = 480;P\left( {4;5} \right) = 640;P\left( {6;3} \right) = 600;P\left( {7;0} \right) = 420\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức $F = y - x$ chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,B\) hoặc \(C\).

Ta có: \(F\left( A \right) = 4 - 1 = 3;\,F\left( B \right) = 2;\,F\left( C \right) = 3 - 2 = 1\).

Vậy ${\rm{min }}F = 1$ khi $x = 2,y = 3$.

Gọi \(x \ge 0,{\rm{ }}y \ge 0\) lần lượt là số đơn vị vitamin \(A\) và \(B\) để một người cần dùng trong một ngày.

Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả \(A\) lẫn \(B\) nên ta có: \(400 \le x + y \le 1000.\)

Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin \(A\)và không quá 500 đơn vị vitamin \(B\)nên ta có: \(x \le 600,{\rm{ }}y \le 500.\)

Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin \(B\) không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin \(A\) và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin \(A\)nên ta có: \(0,5x \le y \le 3x.\)

Số tiền cần dùng mỗi ngày là: \(T\left( {x,y} \right) = 9x + 7,5y.\)

Bài toán trở thành: Tìm \(x \ge 0,{\rm{ }}y \ge 0\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 600,0 \le y \le 500\\400 \le x + y \le 1000\\0,5x \le y \le 3x\end{array} \right.\) để \(T\left( {x,y} \right) = 9x + 7,5y\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ :

Miền nghiệm là lục giác \(ABCDEF\) với
\(\begin{array}{l}A\left( {\dfrac{{500}}{3};500} \right),B\left( {100;300} \right),C\left( {\dfrac{{800}}{3};\dfrac{{400}}{3}} \right)\\D\left( {600;300} \right),E\left( {600;400} \right),F\left( {500;500} \right)\end{array}\)

Thay tọa độ các điểm \(A,B,C,D,E,F\) vào biểu thức \(T\left( {x,y} \right) = 9x + 7,5y\) và tìm GTNN của nó ta được:

\(\begin{array}{l}T\left( {\dfrac{{500}}{3};500} \right) = 5250,T\left( {100;300} \right) = 3150,T\left( {\dfrac{{800}}{3};\dfrac{{400}}{3}} \right) = 3400\\T\left( {600;300} \right) = 7650,T\left( {600;400} \right) = 8400,T\left( {500;500} \right) = 8250\end{array}\)

Vậy \(\min T\left( {x;y} \right) = 3150\) khi \(x = 100;y = 300\)