Bài toán tối ưu

Dễ thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác vuông tại B với 3 đỉnh là $A\left( {2;4} \right),B\left( {2; - 2} \right),C\left( {5; - 2} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AB = 6,\,\,BC = 3\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.6.3 = 9.\end{array}$

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;\;0} \right)$ vào hệ BPT ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2.1 - 0 = 2 \le 3\\10.1 + 5.0 = 10 > 8\end{array} \right.$

Vậy điểm ${M_0}\left( {1;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ BPT $\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\10x + 5y > 8\end{array} \right.$

Gọi số nguyên lớn nhất bạn An có thể chọn là $x$ $\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo bài ra ta có $2\left( {4x - 30} \right) - 10$ là số có 2 chữ số.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le 2\left( {4x - 30} \right) - 10 \le 99\\ - 99 \le 2\left( {4x - 30} \right) - 10 \le  - 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}20 \le 2\left( {4x - 30} \right) \le 109\\ - 89 \le 2\left( {4x - 30} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le 4x - 30 \le \dfrac{{109}}{2}\\ - \dfrac{{89}}{2} \le 4x - 30 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}40 \le 4x \le \dfrac{{169}}{2}\\ - \dfrac{{29}}{2} \le 4x \le 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le x \le \dfrac{{169}}{8}\\ - \dfrac{{29}}{8} \le x \le \dfrac{{30}}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x$ là số lớn nhất nên $x = 21$.

Vậy số lớn nhất An có thể chọn có hàng đơn vị bằng 1.