Nguyên hàm

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Hàm số $f\left( x \right)$ là đạo hàm của $F\left( x \right)$ nên $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ hay $\int {f\left( x \right)dx}=F\left( x \right) +C$.

Ta có: $\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C$.

Quan sát các đáp án ta thấy mỗi hàm số ở đáp án B, C, D đều có đạo hàm bằng $3{x^4}$.

Chỉ có đáp án A: $\left( {12{x^3}} \right)' = 36{x^2} \ne 3{x^4}$ nên A sai.

Các mệnh đề A, B, D đúng

Mệnh đề ở ý C chỉ đúng với $k \ne 0$.

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.

Có $\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C$ nên A sai.

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\sin x + \frac{2}{x}} \right)dx}  =  - \cos x + 2\ln \left| x \right| + C.}$

Ta có: $\int {0dx}  = C$ nên A đúng, D sai.

$\int {dx}  = x+C$ nên B, C sai

Ta có: $\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nên A đúng.

Ta có: $\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + C$ nên A và D đúng.

$\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx =  - \cot x + C}$ nên C đúng, B sai.

Ta có: $\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx}  =  - \cot x + C;\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C$ nên:$\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx}  + \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$

$=  - \cot x + \tan x + C = \tan x - \cot x + C$

Ta có:

$\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {{{\cos }^2}xdx} \\ = \int {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int {dx}  + \dfrac{1}{2}\int {\cos 2xdx} \\ = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\sin 2x + C\\ = \dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\end{array}$

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  - \cot x + C = F\left( x \right)$

Đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ nên $F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=0$

$\Leftrightarrow - \cot \dfrac{\pi }{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow F\left( x \right) =  - \cot x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: $F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C}$ nên C đúng, A sai.

Do đó các hàm số $y = \ln \left| {x + 2} \right|$ và $y = \ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|$ đều là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ nên B, D đúng.

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là:

$\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x + 3{x^3}} \right)dx}$ $= \int {2xdx}  + \int {3{x^3}dx}$ $= 2\int {xdx}  + 3\int {{x^3}dx}$ $= 2.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 3.\dfrac{{{x^4}}}{4} + C$ $= {x^2} + \dfrac{{3{x^4}}}{4} + C$ $= {x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{4}{x^2}} \right) + C$

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{2}{x} + C$

Ta có:

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {{e^{ - 2018x + 2017}}dx}  = \dfrac{1}{{ - 2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + C$

Với $x = 1$ thì $- \dfrac{1}{{2018}}{e^{ - 1}} + C = e \Leftrightarrow C = e + \dfrac{1}{{2018}}{e^{ - 1}}$

Vậy $F\left( x \right) =  - \dfrac{1}{{2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + e + \dfrac{1}{{2018e}}$.

Ta có: $F'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x-1 \Rightarrow F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} + 2x-1} \right)dx}  = {x^3} + {x^2} - x + C$

Tại $x = 0$ thì $y=2$ suy ra $2 = C \Rightarrow F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x + 2$ và tổng các hệ số của $F\left( x \right)$ là $3$.

Theo bài ra ta có: $f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: $\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx}  = \int {{x^3}dx}$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C$.

Lại có: $f\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{19}}$$\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{4} = 4 + C$ $\Leftrightarrow C = \dfrac{3}{4}$.

Do đó $- \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{4}$.

Thay $x = 1$ ta có $- \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$. Vậy $f\left( 1 \right) =  - 1$.