Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{4}{{19}}\) và \(f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Lấy nguyên hàm hai vế ta có: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {{x^3}dx} \) \( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C\).
Lại có: \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{4}{{19}}\)\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{4} = 4 + C\) \( \Leftrightarrow C = \dfrac{3}{4}\).
Do đó \( - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{4}\).
Thay \(x = 1\) ta có \( - \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\). Vậy \(f\left( 1 \right) = - 1\).
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}} = - \dfrac{1}{u} + C\).
- Sử dụng giả thiết \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{4}{{19}}\) để tìm hằng số \(C\), từ đó tính \(f\left( 1 \right)\).
Câu hỏi khác
- Bài tập phần bài toán đếm thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần giải bài toán bằng cách lập phương trình thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần biến cố và xác suất của biến cố thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần bài toán tối ưu thi ĐGNL ĐHQG HCM
