Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Theo giả thiết \((ABC) \bot (P)\)  nên ta có \(0.bc + 1.c - 1.b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c\)

Với giả thiết \(d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}\)  ta có \(\dfrac{{| - bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{3}\)

Vì $b,c > 0$ nên có \(\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}}  = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}\)

Thay $b = c > 0$ vào ta được \(2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2}\), suy ra \(c = \dfrac{1}{2}\)

Vậy $M = b + c = 1$.

Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) thì \(\overrightarrow n  \ne k.\overrightarrow {n'} \) và ta kết luận được ngay hai mặt phẳng cắt nhau.

$\left( P \right)$ có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1,3, - 2),\left( Q \right)\) có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,1,2)\), mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_1}}  = (0,0,1)\) , mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_2}}  = (0,1,0)\), mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1,0,0)\).

Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0\)  (1)

Có $\cos \left( \left( P \right),\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{|\overrightarrow{{{n}_{P}}}|.|\overrightarrow{{{n}_{1}}}|}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ (2)

Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \dfrac{3}{{\sqrt {14} }}\)  (3)

 Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \dfrac{1}{{\sqrt {14} }}\) (4)

Trong $[0;90^0]$, góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa \((P)\) và \((Q)\) lớn nhất.

Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì ta chưa kết luận được gì vì còn phụ thuộc vào tỉ số \(\dfrac{d}{{d'}}\) nên các đáp án A hoặc B đúng.

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = (1 - x,2 - y, - 1 - z)\)  và \(\overrightarrow {MB}  = (2 - x, - 1 - y,3 - z)\)

Theo giả thiết \(M{A^2} - M{B^2} = 2 \Leftrightarrow M{A^2} = 2 + M{B^2}\)  nên ta có

\({(1 - x)^2} + {(2 - y)^2} + {( - 1 - z)^2} = 2 + {(2 - x)^2} + {( - 1 - y)^2} + {(3 - z)^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 2x - 4y + 2z + 6 =  - 4x + 2y - 6z + 16\)

\( \Leftrightarrow 2x - 6y + 8z - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 5 = 0\)

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua giao tuyến của \(\left( Q \right),\left( R \right)\) nên có phương trình dạng \(m\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) + n\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\)  với \({m^2} + {n^2} > 0.\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {3;4;1} \right)\) nên \(56m + 108n = 0 \Rightarrow \dfrac{m}{n} =  - \dfrac{{27}}{{14}}.\)

Chọn \(m = 27,n =  - 14\) thì:

\(\begin{array}{l}\left( P \right):27.\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) - 14.\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 75x - 50y - 150z + 575 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0\end{array}\)

Ta có: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3.2 + 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt {11} }} = \dfrac{{5\sqrt {11} }}{{11}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {4; - 2;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 1;3} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M'\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình:

\(2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 4} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 20 = 0\) 

Ta có:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\) nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó \(M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)\) nên C sai.

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\) là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Lại có $OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a =  - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b =  - \,c\\a =  - \,b =  - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b =  - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$

Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) có:

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Giả sử $M\left( {x,y,z} \right)$ là điểm cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{|x + 2y - 2z + 1|}}{3} = \dfrac{{|x - 2y + 2z - 1|}}{3}\\ \Leftrightarrow |x + 2y - 2z + 1| = |x - 2y + 2z - 1|\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 2z + 1 = x - 2y + 2z - 1}\\{x + 2y - 2z + 1 =  - (x - 2y + 2z - 1)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4y - 4z + 2 = 0}\\{2x = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - 2z + 1 = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\end{array}\) 

Ta có: $\cos \beta  = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$ $ = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Do đó \(0 \le \beta  \le {90^0}\), trong khi \(0 \le \alpha  \le {180^0}\) nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.

Ngoài ra, khi \(\alpha = \beta \) hay \(\alpha =180^0 -  \beta \) thì ta đều có \(\sin \alpha  = \sin \beta \) nên C đúng.

D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.

Giả sử  \(M({x_0},{y_0},{z_0})\)  là điểm thuộc \(({P_m})\)  ta có

\(\begin{array}{l}m{x_0} + m(m + 1){y_0} + {(m - 1)^2}{z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow m{x_0} + {m^2}{y_0} + m{y_0} + {m^2}{z_0} - 2m{z_0} + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow ({y_0} + {z_0}){m^2} + ({x_0} + {y_0} - 2{z_0})m + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} + {z_0} = 0}&{}\\{{x_0} + {y_0} - 2{z_0} = 0}&{}\\{{z_0} - 1 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_0} = 1}&{}\\{{y_0} =  - 1}&{}\\{{x_0} = 3}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(3, - 1,1)\end{array}\)

Dễ thấy \(2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0\)\( \Rightarrow \) điểm \(Q\) thuộc \(\left( P \right)\)

Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}}  = \left( {1;0;0} \right)\) nên góc giữa \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) bằng \({60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| {a.1 + b.0 + c.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\end{array}\)

\(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {4;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT nên \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình tổng quát là:

\(a\left( {x - 4} \right) + b\left( {y - 0} \right) + c\left( {z - 0} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow ax + by + cz - 4a = 0\)

Suy ra khoảng cách từ O đến \(\left( \alpha  \right)\) là:

\(d\left( {O,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a.0 + b.0 + c.0 - 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\dfrac{1}{2} = 2\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là \(y = 0\)

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {1;1;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;1} \right)\), \(C'\left( {1;1;1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {1;0; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {0;1;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {1;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left( {A'BC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0;1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left( {ABC'} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC'} \right)\) ta có:

\(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{2}\).

Ta có: \(\left( P \right):\,\,\,4x - 4y + 2z - 7 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {4; - 4;\,\,2} \right) = 2\left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)

\(\left( Q \right):\,\,\,2x - 2y + z + 4 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{n_Q}}  \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\)

Lấy điểm \(A\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right) \in \left( Q \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {4.0 - 4.2 + 2.0 - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{15}}{6} = \dfrac{5}{2}\)

Mà hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\,\left( Q \right)\)  chứa hai mặt của hình lập phương đã cho

\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh của hình lập phương là \(d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{5}{2}.\)

\( \Rightarrow V = {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^3} = \dfrac{{125}}{8}.\)