Có bao nhiêu số phức thỏa mãn \({z^2} + 2\left( {\overline z } \right) = 0\)?

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{z^2} + 2\overline z  = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + 2\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + 2a - 2bi = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2a + \left( {2ab - 2b} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2a = 0\\2ab - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2a = 0\\2b\left( {a - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2a = 0\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\-{b^2} + 3 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} + 2a = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \end{array}\)

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \pm \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
a = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {z_1} = 1 + \sqrt 3 i,{z_2} = 1 - \sqrt 3 i\\
{z_3} = 0,{z_4} = - 2
\end{array}$

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.