Tổ 1 lớp 11A có 6 nam 7 nữ, tổ 2 có 5 nam, 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh. Xác suất để 2 học sinh được chọn đều là nữ là :
Bước 1:
Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn đều là nữ ”.
Bước 2:
Số cách chọn 2 bạn ( mỗi tổ 1 bạn) là 13.13=169.
Bước 3:
Số cách chọn nữ của tổ 1 là 7
Số cách chọn nữ của tổ 2 là 8
Do đó có 7.8=56 cách chọn 2 học sinh từ mỗi tổ đều là nữ.
Bước 4:
Vậy xác suất là \(P = \dfrac{{56}}{{169}}.\)
Trường trung học phổ thông A có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp và khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp tỉnh. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ 3 khối.
Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư
Cả trường có 23 em bí thư.
Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là \(C_{23}^9\) \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{23}^9\).
Gọi A là biến cố: “9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối” \( \Rightarrow \overline A \): “9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”.
Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là \(C_{16}^9\) cách.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là \(C_{15}^9\) cách.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là \(C_{15}^9\) cách.
\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9\).
Vậy xác suất cần tính là \(P\left( A \right) = 1 - \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \dfrac{{C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9}}{{C_{23}^9}} = \dfrac{{7234}}{{7429}}\).
Một hộp đựng 8 quả cầu xanh, 12 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại. Xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu là:
Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại thì số phần tử không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 20.19 = 380\).
Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 quả cầu cùng màu”.
TH1: Lấy được 2 quả cầu cùng màu xanh, có \(8.7 = 56\) cách.
TH2: Lấy được 2 quả cầu cùng màu đỏ, có \(12.11 = 132\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 56 + 132 = 188\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{188}}{{380}} = \dfrac{{47}}{{95}} \approx 49,47\% \).
Một tủ sách có 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa. Các cuốn sách là khác nhau. Một học sinh chọn ngẫu nhiên 4 cuốn sách trong tủ để học. Xác suất để 4 cuốn sách được chọn có ít nhất 2 cuốn sách Toán là $\dfrac{a}{b}$ (phân số tối giản). Tính $b-a$.
Đáp án:
Đáp án:
Bước 1: Tính không gian mẫu.
Chọn ngẫu nhiên 4 quyển sách khác nhau từ 18 cuốn sách có \(C_{18}^4\) cách \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{18}^4\).
Bước 2:
Gọi A là biến cố: “4 cuốn sách được chọn có ít nhất 2 cuốn sách Toán”.
TH1: 2 cuốn sách Toán + 2 cuốn sách Lý & Hóa.
\( \Rightarrow \) Có \(C_7^2.C_{11}^2\) cách.
TH2: 3 cuốn sách Toán + 1 cuốn sách Lý & Hóa.
\( \Rightarrow \) Có \(C_7^3.C_{11}^1\) cách.
TH3: 4 cuốn sách Toán.
\( \Rightarrow \) Có \(C_7^4\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2.C_{11}^2 + C_7^3.C_{11}^1 + C_7^4\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_7^2.C_{11}^2 + C_7^3.C_{11}^1 + C_7^4}}{{C_{18}^4}} = \dfrac{{35}}{{68}}\).
Vậy $a=35;b=68=>b-a=33$
Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau và $\dfrac{a}{b}$. Tính $a^2+b^2$
Đáp án: $a^2+b^2=$
Đáp án: $a^2+b^2=$
Bước 1: Tìm không gian mẫu và gọi A là biến cố: “An và Hà không ngồi cạnh nhau” \( \Rightarrow \) rồi tính số phần tử của biến cố đối của A.
Số phần tử của không gian mẫu là \(6! = 720\).
Gọi A là biến cố: “An và Hà không ngồi cạnh nhau”
\( \Rightarrow \) Biến cố đối \(\overline A \): “An và Hà ngồi cạnh nhau”.
Coi An và Hà là 1 bạn, có 2 cách đổi chỗ An và Hà, khi đó có tất cả 5 bạn xếp vào 5 ghê \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 2.5! = 240\).
Bước 2: Tính xác suất của biến cố A.
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \dfrac{{240}}{{720}} = \dfrac{2}{3}\).
Vậy $a=2;b=3=>a^2+b^2=13$
Trong ngày hội giao lưu văn hóa – văn nghệ, giải cầu lông đơn nữ có 12 vận động viên tham gia, trong đó có hai vận động viên Kim và Liên. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 6 người. Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Xác suất để hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng là $\dfrac{a}{{b}}$. Tính $b-a$
Đáp án:
Đáp án:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu.
Chia 12 người vào 2 bảng \( \Rightarrow \) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^6.C_6^6 = 924\).
Bước 2: Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”, sử dụng tổ hợp chọn 4 người còn lại vào cùng bảng đó, và tính số phần tử của biến cố A.
Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”.
Số cách chọn bảng cho A và B là 2 cách.
Khi đó cần chọn thêm 4 bạn nữa là \(C_{10}^4\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2.C_{10}^4 = 420\).
Bước 3: Tính xác suất của biến cố.
Vậy xác suất để Kim và Liên thi chung 1 bảng là \(P\left( A \right) = \dfrac{{420}}{{924}} = \dfrac{5}{{11}}\).
Vậy $a=5, b=11=>b-a=6$
Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 12 đội tham gia, trong đó có 3 đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội của Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu
$\dfrac{3}{55}$
$\dfrac{3}{55}$
$\dfrac{3}{55}$
Bước 1: Gọi ba bảng đấu có tên là $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$. Tính số cách chia 12 đội thành 3 bảng đấu
Gọi ba bảng đấu có tên là $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$. Chọn 4 đội cho bảng $\mathrm{A}$ có $C_{12}^{4}$ cách, chọn 4 đội cho bảng $\mathrm{B}$ có $C_{8}^{4}$ cách và 4 đội còn lại vào bảng $\mathrm{C}$ có 1 cách
Theo quy tắc nhân, số cách chia 12 đội thành 3 bảng đấu là
$n(\Omega)=C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot 1=34650$ (cách)
Bước 2: Gọi $A$ là biến cố " 3 đội Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu". Tính số n(A).
Gọi $A$ là biến cố " 3 đội Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu"
Giả sử 3 đội Việt Nam cùng nằm ở bảng $\mathrm{A}$. Khi đó bảng $\mathrm{A}$ sẽ chọn 1 đội trong 9 đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam, 8 đội còn lại chia vào bảng $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$. Trong trường hợp này ta có số cách chọn là $C_{9}^{1} . C_{8}^{4}=630$ (cách)
Vì vai trò của các bảng là như nhau nên trường hợp 3 đội Việt Nam ở bảng $\mathrm{B}$ hay bảng $C$ đều cho kết quả như nhau
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $n(A)=3.630=1890$ (cách)
Bước 3: Tính P(A)
Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{1890}{34650}$$=\dfrac{3}{55}$
Một bình đựng 35 quả cầu phân biệt, trong đó có 20 quả cầu màu xanh và 15 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên 5 quả cầu xác suất để trong 5 quả cầu được chọn có cả quả cầu màu xanh và quả cầu màu đỏ là
Số các phần tử của không gian mẫu là: \(\left| \Omega \right| = C_{35}^5\)
Gọi A là biến cố “có cả quả cầu màu xanh và quả cầu màu đỏ”
Khi đó \(\overline A \) là “chỉ có quả cầu màu xanh hoặc chỉ có quả cầu màu đỏ”
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| A \right| = C_{15}^5 + C_{20}^5\\ \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{{C_{15}^5 + C_{20}^5}}{{C_{35}^5}} = \dfrac{{9875}}{{10472}}\end{array}\)
Một lô hàng có 30 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 6 sản phẩm của lô hàng đó. Xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm là
Bước 1: Tính không gian mẫu
Trong 30 sản phẩm có 5 phế phẩm và 25 thành phẩm
Không gian mẫu là số cách chọn 6 sản phẩm trong 30 sản phẩm: \(C_{30}^6 = 593775\)
Bước 2: Gọi A là biến cố “Lấy được k quá hai phế phẩm”Tính \(\left| {{\Omega _A}} \right|\)
Gọi A là biến cố “Trong 6 sản phẩm lấy được không quá 2 phế phẩm.
Ta cần tính khả năng của A
TH1: Không có phế phẩm:
\( \Rightarrow \)Có \(1.C_{25}^6\) cách chọn
TH2: Có 1 phế phẩm:
\( \Rightarrow \)Có \(C_5^1.C_{25}^5\) cách chọn
TH3: Có 2 phế phẩm
\( \Rightarrow \)Có \(C_5^2.C_{25}^4\) cách chọn
Vậy \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 1.C_{25}^6 + C_5^1.C_{25}^5 + C_5^2.C_{25}^4 = 569250\)
Bước 3: Tính xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Xác suất để lấy được không quá 2 phế phẩm là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{569250}}{{593775}} = \dfrac{{2530}}{{2639}}\)
