Bài tập cuối chương VI

Bước 1:

Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn đều là nữ ”.

Bước 2:

Số cách chọn 2 bạn ( mỗi tổ 1 bạn) là 13.13=169.

Bước 3:

Số cách chọn nữ của tổ 1 là 7

Số cách chọn nữ của tổ 2 là 8

Do đó có 7.8=56 cách chọn 2 học sinh từ mỗi tổ đều là nữ.

Bước 4:

Vậy xác suất là $P = \dfrac{{56}}{{169}}.$

Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư

Cả trường có 23 em bí thư.

Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là $C_{23}^9$ $\Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{23}^9$.

Gọi A là biến cố: “9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối” $\Rightarrow \overline A$: “9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”.

Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là $C_{16}^9$ cách.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là $C_{15}^9$ cách.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là $C_{15}^9$ cách.

$\Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9$.

Vậy xác suất cần tính là $P\left( A \right) = 1 - \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = 1 - \dfrac{{C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9}}{{C_{23}^9}} = \dfrac{{7234}}{{7429}}$.

Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại thì số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega  \right) = 20.19 = 380$.

Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 quả cầu cùng màu”.

TH1: Lấy được 2 quả cầu cùng màu xanh, có $8.7 = 56$ cách.

TH2: Lấy được 2 quả cầu cùng màu đỏ, có $12.11 = 132$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 56 + 132 = 188$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{188}}{{380}} = \dfrac{{47}}{{95}} \approx 49,47\%$.

Bước 1: Tính không gian mẫu.

Chọn ngẫu nhiên 4 quyển sách khác nhau từ 18 cuốn sách có $C_{18}^4$ cách $\Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{18}^4$.

Bước 2:

Gọi A là biến cố: “4 cuốn sách được chọn có ít nhất 2 cuốn sách Toán”.

TH1: 2 cuốn sách Toán + 2 cuốn sách Lý & Hóa.

$\Rightarrow$ Có $C_7^2.C_{11}^2$ cách.

TH2: 3 cuốn sách Toán + 1 cuốn sách Lý & Hóa.

$\Rightarrow$ Có $C_7^3.C_{11}^1$ cách.

TH3: 4 cuốn sách Toán.

$\Rightarrow$ Có $C_7^4$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2.C_{11}^2 + C_7^3.C_{11}^1 + C_7^4$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_7^2.C_{11}^2 + C_7^3.C_{11}^1 + C_7^4}}{{C_{18}^4}} = \dfrac{{35}}{{68}}$.

Vậy $a=35;b=68=>b-a=33$

Bước 1: Tìm không gian mẫu và gọi A là biến cố: “An và Hà không ngồi cạnh nhau” $\Rightarrow$ rồi tính số phần tử của biến cố đối của A.

Số phần tử của không gian mẫu là $6! = 720$.

Gọi A là biến cố: “An và Hà không ngồi cạnh nhau”

$\Rightarrow$ Biến cố đối $\overline A$: “An và Hà ngồi cạnh nhau”.

Coi An và Hà là 1 bạn, có 2 cách đổi chỗ An và Hà, khi đó có tất cả 5 bạn xếp vào 5 ghê $\Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 2.5! = 240$.

Bước 2: Tính xác suất của biến cố A.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = 1 - \dfrac{{240}}{{720}} = \dfrac{2}{3}$.

Vậy $a=2;b=3=>a^2+b^2=13$

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu.

Chia 12 người vào 2 bảng $\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega  \right) = C_{12}^6.C_6^6 = 924$.

Bước 2: Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”, sử dụng tổ hợp chọn 4 người còn lại vào cùng bảng đó, và tính số phần tử của biến cố A.

Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”.

Số cách chọn bảng cho A và B là 2 cách.

Khi đó cần chọn thêm 4 bạn nữa là $C_{10}^4$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 2.C_{10}^4 = 420$.

Bước 3: Tính xác suất của biến cố.

Vậy xác suất để Kim và Liên thi chung 1 bảng là $P\left( A \right) = \dfrac{{420}}{{924}} = \dfrac{5}{{11}}$.

Vậy $a=5, b=11=>b-a=6$

Bước 1: Gọi ba bảng đấu có tên là $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$. Tính số cách chia 12 đội thành 3 bảng đấu

Gọi ba bảng đấu có tên là $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$. Chọn 4 đội cho bảng $\mathrm{A}$ có $C_{12}^{4}$ cách, chọn 4 đội cho bảng $\mathrm{B}$ có $C_{8}^{4}$ cách và 4 đội còn lại vào bảng $\mathrm{C}$ có 1 cách

Theo quy tắc nhân, số cách chia 12 đội thành 3 bảng đấu là

$n(\Omega)=C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot 1=34650$ (cách)

Bước 2: Gọi $A$ là biến cố " 3 đội Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu". Tính số n(A).

Gọi $A$ là biến cố " 3 đội Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu"

Giả sử 3 đội Việt Nam cùng nằm ở bảng $\mathrm{A}$. Khi đó bảng $\mathrm{A}$ sẽ chọn 1 đội trong 9 đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam, 8 đội còn lại chia vào bảng $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$. Trong trường hợp này ta có số cách chọn là $C_{9}^{1} . C_{8}^{4}=630$ (cách)

Vì vai trò của các bảng là như nhau nên trường hợp 3 đội Việt Nam ở bảng $\mathrm{B}$ hay bảng $C$ đều cho kết quả như nhau

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $n(A)=3.630=1890$ (cách)

Bước 3: Tính P(A)

Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{1890}{34650}$$=\dfrac{3}{55}$

Số các phần tử của không gian mẫu là: $\left| \Omega  \right| = C_{35}^5$

Gọi A là biến cố “có cả quả cầu màu xanh và quả cầu màu đỏ”

Khi đó $\overline A$ là “chỉ có quả cầu màu xanh hoặc chỉ có quả cầu màu đỏ”

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left| A \right| = C_{15}^5 + C_{20}^5\\ \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{{C_{15}^5 + C_{20}^5}}{{C_{35}^5}} = \dfrac{{9875}}{{10472}}\end{array}$

Bước 1: Tính không gian mẫu

Trong 30 sản phẩm có 5 phế phẩm và 25 thành phẩm

Không gian mẫu là số cách chọn 6 sản phẩm trong 30 sản phẩm: $C_{30}^6 = 593775$

Bước 2: Gọi A là biến cố “Lấy được k quá hai phế phẩm”Tính $\left| {{\Omega _A}} \right|$

Gọi A là biến cố “Trong 6 sản phẩm lấy được không quá 2 phế phẩm.

Ta cần tính khả năng của A

TH1: Không có phế phẩm:

$\Rightarrow$Có $1.C_{25}^6$ cách chọn

TH2: Có 1 phế phẩm:

$\Rightarrow$Có $C_5^1.C_{25}^5$ cách chọn

TH3: Có 2 phế phẩm

$\Rightarrow$Có $C_5^2.C_{25}^4$ cách chọn

Vậy $\left| {{\Omega _A}} \right| = 1.C_{25}^6 + C_5^1.C_{25}^5 + C_5^2.C_{25}^4 = 569250$

Bước 3: Tính xác suất $P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}}$

Xác suất để lấy được  không quá 2 phế phẩm là: $P\left( A \right) = \dfrac{{569250}}{{593775}} = \dfrac{{2530}}{{2639}}$