Bài tập cuối chương VI

Các thí nghiệm ở đáp án A, B, C đều là các phép thử ngẫu nhiên vì ta không đoán trước kết quả, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra với nó.

Thí nghiệm ở đáp án D không phải phép thử ngẫu nhiên vì ta đã biết chắc kết quả là có \(5\) viên bi.

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“

-Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 10!\).

-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là:  \(5!.5!\)

-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là:  \(5!.5!\)

=>\(n\left( A \right) = 5!.5! + 5!.5! = 28800.\)

=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{28800}}{{10!}} = \dfrac{1}{{126}}.\)

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 6!\).

Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.

Chọn chỗ cho học sinh  nam thứ  2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có  2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.

\( \Rightarrow {n_A} = 6.4.2.3! = 288\)  cách.

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{288}}{{6!}} = \dfrac{2}{5}.\)

Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:

      \({X_1}:\left\{ {1;4;7;...;19} \right\}\): chia cho 3 dư 1 (có 7 phần tử)

      \({X_2}:\left\{ {2;5;8;...;20} \right\}\): chia cho 3 dư 2 (có 7 phần tử)

      \({X_3}:\left\{ {3;6;9;...;18} \right\}\): chia hết cho 3 (có 6 phần tử)

Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:

+)  Cả 3 viên thuộc \({X_1}\), có: \(C_7^3\) cách

+)  Cả 3 viên thuộc \({X_2}\), có: \(C_7^3\) cách

+)  Cả 3 viên thuộc \({X_3}\), có: \(C_6^3\) cách

+)  1 viên thuộc \({X_1}\), 1 viên thuộc \({X_2}\), 1 viên thuộc \({X_3}\), có: \(7.7.6\) cách

\( \Rightarrow \)Số cách thỏa mãn là: \(C_7^3 + C_7^3 + C_6^3 + 7.7.6 = 384\)

* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \,\left( {a \ne 0;\,0 \le a,b,c,d \le 9;\,a,b,c,d \in \mathbb{N}} \right)\)

+ \(a\) có 9 cách chọn

+ \(b,c,d\) có 10 cách chọn

Không gian mẫu có số phần tử là \(n\left( \Omega  \right) = {9.10^3}\)

* Gọi \(A\) là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau

TH1 :  Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong \(\overline {abcd} \)

+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có \(9.10 = 90\) cách chọn 2 chữ số còn lại

+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có \(8\) cách chọn chữ số hàng nghìn và \(9\) cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có \(8.9 = 72\) cách chọn.

+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có \(9.9\) cách chọn.

Vậy trường hợp này có \(90 + 72 + 81 = 243\) số.

TH2 : Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.

+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị

+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn

Vậy trường hợp này có \(9 + 8 = 17\) số

TH3 : Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số

Số phần tử của biến cố A là \(n\left( A \right) = 243 + 17 + 1 = 261\)

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{261}}{{{{9.10}^3}}} = 0,029\)

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là \(C_9^2\)

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là \(C_7^3\)

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là \(C_4^4\)

Số phần tử của tập S là \(n\left( \Omega  \right) = C_9^2.C_7^3.C_4^4 = 1260\)

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là \(C_8^1.C_7^3.C_4^4 = 280\) cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(686\) là 1 cụm thì có \(7\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_6^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(7.C_6^3.C_3^3 = 140\) số

Cách 2:  Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(6886\) là 1 cụm thì có \(6\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_5^2\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(6.C_5^2.C_3^3 = 60\) số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(68886\) là 1 cụm thì có \(5\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_4^1\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(5.C_4^1.C_3^3 = 20\) số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(688886\) là 1 cụm thì có \(4\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(4C_3^3 = 4\) số

Vậy biến cố A có \(280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504\) phần tử

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{504}}{{1260}} = \dfrac{2}{5}\)

Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là \(9.9 = 81 \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = {81^2}\).

Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”

TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau \( \Rightarrow \) Có 81 cách.

TH2: Bạn Công viết số có dạng \(\overline {ab} \) và bạn Thành viết số có dạng \(\overline {ba} \).

\( \Rightarrow a \ne b \ne 0 \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.

TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.

+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng \(\overline {a0} \), Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)

\( \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.

+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\), hoặc \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).

    Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Có 16 cách.

    Nếu Công viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 0,\,\,b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.

    Nếu Công viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.

\( \Rightarrow \) Có 256 cách viết trùng số 1.

Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{2529}}{{{{81}^2}}} = \dfrac{{281}}{{729}}\).

Số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau là \({\rm{A}}_7^4 = 840 \Rightarrow n\left( S \right) = 840\).

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\)”. Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = {\rm{C}}_{840}^1 = 840\).

Biến cố \(A\):“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.

+ Trường hợp 1: Số được chọn có \(4\) chữ số đều là số lẻ, có \(4! = 24\)cách chọn.

+ Trường hợp 2: Số được chọn có \(1\) chữ số chẵn và \(3\) chữ số lẻ

Có \(C_3^1\) cách chọn 1 chữ số chẵn và \(C_4^3\) cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có \(4!\) cách sắp xếp 4 số được chọn nên có \({\rm{C}}_3^1.{\rm{C}}_4^3.4! = 288\) cách chọn thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: Số được chọn có \(2\) chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp \(\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\) có \(C_3^2.C_4^2\) cách.

Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có \(2!\) cách sắp xếp 2 số lẻ và \(2!\) cách sắp xếp các số chẵn nên có \(3.2!.2!\) số thỏa mãn

* Suy ra trường hợp 3 có \(C_3^2.C_4^2.12 = 216\) cách chọn.

Suy ra \(n\left( A \right) = 24 + 288 + 216 = 528\).

Vậy xác suất cần tìm \({\rm{P}}\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{528}}{{840}} = \dfrac{{22}}{{35}}\).

+) Số phần tử của KGM: \(n\left( \Omega  \right) = n\left( X \right) = C_{18}^3\).

Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập \(X\) là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.

Có 18 đỉnh như vậy \( \Rightarrow \) Lập được \(8.18 = 144\) tam giác cân + đều.

Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 144 - 6 = 138\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P = P\left( A \right) = \dfrac{{136}}{{C_{18}^3}} = \dfrac{{23}}{{136}}\).

Áp dụng BĐT tam giác: \(\left| {a - b} \right| < c < a + b\) (với \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác).

+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:

\(\left( {2;3;4} \right),\left( {2;4;5} \right),\left( {2;5;6} \right),\left( {3;4;5} \right),\left( {3;4;6} \right),\left( {3;5;6} \right),\left( {4;5;6} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có 7 tam giác không cân.

+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\) \( \Rightarrow a < 2b\).

TH1: \(b = 1 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow a = 1\): Có 1 tam giác cân.

TH2: \(b = 2 \Rightarrow a < 4 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\}\): Có 3 tam giác cân.

TH3: \(b = 3 \Rightarrow a < 6 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\): Có 5 tam giác cân.

TH4: \(b = 4 \Rightarrow a < 8 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

TH5: \(b = 5 \Rightarrow a < 10 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

TH6: \(b = 6 \Rightarrow a < 12 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

\( \Rightarrow \) Có \(1 + 3 + 5 + 6.3 = 27\) tam giác cân.

\( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 7 + 27 = 34\).

Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân” \( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{27}^1 = 27\).

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{27}}{{34}}\).

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).

Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = {6^3} = 216\)

Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”

Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là: \(C_3^2.1.1.5 = 15\) cách

Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: \(1\) cách

Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: \(n\left( A \right) = 15 + 1 = 16\) cách

Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{16}}{{216}} = \dfrac{2}{{27}}\)

Do đó xác suất để thua 1 ván là \(1 - P\left( A \right) = 1 - \dfrac{2}{{27}} = \dfrac{{25}}{{27}}\)

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.

TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván

Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là \(C_3^2.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{{25}}{{27}} = \dfrac{{100}}{{6561}}\)

Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là: \({\left( {\dfrac{2}{{27}}} \right)^3} = \dfrac{8}{{19683}}\)

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:

\(P = \dfrac{{100}}{{6561}} + \dfrac{8}{{19683}} = \dfrac{{308}}{{19683}}\).

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 6!\)

Bước 1: Xếp 3 học sinh đứng đầu hàng

+) Chọn 3 học sinh lớp A, B, C để đứng đầu hàng. Mỗi lớp 1 học sinh: Có \((C_2^1)^3\) cách chọn.

+) Với mỗi cách chọn trên ta sắp xếp thứ tự 3 học sinh này: Có 3! cách xếp.

Theo quy tắc nhân có 48 cách xếp 3 học sinh A,B,C đứng đầu hàng.

Bước 2: Với mỗi một cách xếp 3 học sinh ở 2 bước trên (Giả sử thứ tự khi xếp 3 học sinh ở bước 2 là ABC),

+) Ta chọn 1 học sinh trong 3 học sinh còn lại xếp vị trí thứ 4

=> Chỉ có thể là học sinh lớp A: ABCA

+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 5: Chỉ có thể là B

+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 6: Chỉ có thể là C

Số phần tử của A là: \(n\left( A \right) = (C_2^1)^3.3! = 48\) \( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{48}{{6!}} = \dfrac{1}{{15}}\).

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\).

- Số cách chọn \(a\): 6 cách.

- Số cách chọn \(b,c,d\): \(A_6^3\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(6.A_6^3 = 720\) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

\( \Rightarrow \) Tập hợp \(S\) có 720 phần tử.

Chọn ngẫu nhiên 2 số từ \(S\) \( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{720}^2\).

Trong các số \(0,1,2,3,4,5,6\) có 4 số chẵn và 3 số lẻ.

a. Tính số các số chẵn được lập từ 7 chữ số trên:

Nếu số đó có dạng \(\overline {abc0}  \Rightarrow \) có \(A_6^3 = 120\) số thỏa mãn.

Nếu số đó dạng \(\overline {abcd} ;\,\,\,d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) có \(3.5.A_5^2 = 300\) số thỏa mãn.

Vậy có 420 số chẵn được tạo từ các số đã cho.

b. Tính số các số lẻ được lập từ 7 chữ số trên:

Số các số lẻ \( = 720 - 420 = 300\) số.

Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn” \( \Rightarrow \) Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.

- Lấy hai số chẵn từ tập \(S\) có \(C_{420}^2\) cách.

- Lấy hai số lẻ từ tập \(S\) có \(C_{300}^2\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{420}^2 + C_{300}^2\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_{300}^2 + C_{420}^2}}{{C_{720}^2}}\).

Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \({a_1}\): 9 cách.

Số cách chọn 7 chữ số còn lại: \(A_9^7\) cách.

\( \Rightarrow \) Tập hợp A có \(9.A_9^7\) số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{9.A_9^7}^1 = 9.A_9^7\).

Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.

Ta có: \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}}  = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\).

Vì \({10^k}\,\, \vdots \,\,25\,\,\forall k = \overline {2;8} ,\,\,k \in \mathbb{N}\) nên \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).

Do \({a_7},\,\,{a_8} \in \mathbb{N},\,\,0 \le {a_7},\,\,{a_8} \le 9\), \({a_7} \ne {a_8}\)  nên \(0 < 10{a_7} + {a_8} \le 99\).

\( \Rightarrow 10{a_7} + {a_8} \in \left\{ {25;50;75} \right\}\).

Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên \({a_8} \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(10{a_7} + {a_8} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{25}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 2\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

TH2:  \(10{a_7} + {a_8} = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = 5\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = \dfrac{{45}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

\(\) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 8 cách \(\left( {{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(8.A_7^5\) số.

TH3:  \(10{a_7} + {a_8} = 75 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{75}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 7\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

\( \Rightarrow n\left( M \right) = 2.7.A_7^5 + 8.A_7^5 = 55440\).

Vậy xác suất của biến cố M là \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{55440}}{{9.A_9^7}} = \dfrac{{11}}{{324}}\)

Số cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang là: \(8!\) cách.

Gọi biến cố A: “Học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B”.

TH1: Học sinh A đứng ở đầu hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B

\( \Rightarrow \) Có: \(C_2^1.6!\) cách xếp.

TH2: Học sinh A đứng ở cuối hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B

\( \Rightarrow \) Có: \(C_2^1.6!\) cách xếp.

TH3: Học sinh A đứng giữa hai bạn học sinh lớp B

\( \Rightarrow \) Có: \(2!.6!\) cách xếp.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n_A} = 2C_2^1.6! + 2!.6! = 4320\\ \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}} = \dfrac{{4320}}{{8!}} = \dfrac{3}{{28}}.\end{array}\)

Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là: \(C_{60}^2\) cách lấy.

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.

TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^1.C_{54}^1\) cách lấy.

TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^2\) cách lấy.

TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {30 - 6} \right)\left( {12 - 6} \right) = 24.6 = 144\) cách lấy.

\( \Rightarrow {n_A} = C_6^1.C_{54}^1 + C_6^2 + 144 = 483\) cách lấy.

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{483}}{{C_{60}^2}} = \dfrac{{161}}{{590}}.\)

Gọi số phần quà Sử - Địa là \(x\), số phần quà Sử - GDCD là \(y\) và số phần quà Địa – GDCD là \(z\) 

Tổng số phần quà là 15 nên x+y+z=15.

Phần quà có môn sử chỉ có 2 kiểu: Sử- Địa (x phần quà) và Sử - GDCD(y phần quà). Do có 12 quyển sách sử nên 12 quyển này nằm hoàn toàn trong 2 kiểu phần quà trên. Do đó, x+y=12.

Tương tự với Địa: x+z=8.

GDCD: y+z=10

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 15\\x + y = 12\\y + z = 10\\x + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\\z = 3\end{array} \right.\)

Suy ra số phần qùa Sử - Địa là 5.

            Số phần quà Sử - GDCD là 7.

            Số phần quà Địa – GDCD là 3.

Chọn 2 trong 15 phần quà \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^2 = 105\).

Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, khi đó ta có:

\(n\left( A \right) = C_5^1.C_7^1 + C_7^1.C_3^1 + C_3^1.C_5^1 = 71\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{71}}{{105}}\).

Nếu \(A\) và \(\overline A \) là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( {\overline A } \right) + P\left( A \right)=1 \Leftrightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

Bước 1:

Gọi số có số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt là  ,  

Bước 2:

+ \(a\) có \(9\) cách chọn, \(b\) có \(9\) cách chọn, \(c\) có \(8\) cách chọn, \(d\) có \(7\) cách chọn

Nên có \(9.9.8.7 = 4536\) số. Hay số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 4536\)

Bước 3:

Gọi A là biến cố  

Bước 4:

+ Nếu \(a \in \left\{ {3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) thì số cách chọn 3 chữ số \(b,c,d\) là \(A_9^3\)  nên có \(7.A_9^3\) số

+ Nếu \(a = 2\) và \(b = 5\) thì \(c,d \in \left\{ {0;1;3;4;6;7;8;9} \right\}\) nên có \(A_8^2\) số

+ Nếu \(a = 2;b \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}\) thì có \(A_8^2\) cách chọn \(c,d\) nên có \(4.A_8^2\) số

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 7.A_9^3 + A_8^2 + 4.A_8^2 = 3808\)

Bước 5:

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{3808}}{{4536}} = \dfrac{{68}}{{81}}\)

Bước 1:

Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”.

Bước 2:

Số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 12 đỉnh là \(\left| \Omega  \right| = C_{12}^3\).

Bước 3:

Để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác đều thì các đỉnh cách đều nhau. Do đó số cách chọn tam giác đều là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = \dfrac{{12}}{3} = 4.\)

Bước 4:

Vậy xác suất là \(P = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{4}{{C_{12}^3}} = \dfrac{1}{{55}}.\)