Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

Số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau là \({\rm{A}}_7^4 = 840 \Rightarrow n\left( S \right) = 840\).

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\)”. Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = {\rm{C}}_{840}^1 = 840\).

Biến cố \(A\):“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.

+ Trường hợp 1: Số được chọn có \(4\) chữ số đều là số lẻ, có \(4! = 24\)cách chọn.

+ Trường hợp 2: Số được chọn có \(1\) chữ số chẵn và \(3\) chữ số lẻ

Có \(C_3^1\) cách chọn 1 chữ số chẵn và \(C_4^3\) cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có \(4!\) cách sắp xếp 4 số được chọn nên có \({\rm{C}}_3^1.{\rm{C}}_4^3.4! = 288\) cách chọn thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: Số được chọn có \(2\) chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp \(\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\) có \(C_3^2.C_4^2\) cách.

Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có \(2!\) cách sắp xếp 2 số lẻ và \(2!\) cách sắp xếp các số chẵn nên có \(3.2!.2!\) số thỏa mãn

* Suy ra trường hợp 3 có \(C_3^2.C_4^2.12 = 216\) cách chọn.

Suy ra \(n\left( A \right) = 24 + 288 + 216 = 528\).

Vậy xác suất cần tìm \({\rm{P}}\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{528}}{{840}} = \dfrac{{22}}{{35}}\).