Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập \(X = \left\{ {6;7;8} \right\},\) trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là \(C_9^2\)

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là \(C_7^3\)

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là \(C_4^4\)

Số phần tử của tập S là \(n\left( \Omega  \right) = C_9^2.C_7^3.C_4^4 = 1260\)

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là \(C_8^1.C_7^3.C_4^4 = 280\) cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(686\) là 1 cụm thì có \(7\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_6^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(7.C_6^3.C_3^3 = 140\) số

Cách 2:  Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(6886\) là 1 cụm thì có \(6\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_5^2\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(6.C_5^2.C_3^3 = 60\) số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(68886\) là 1 cụm thì có \(5\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_4^1\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(5.C_4^1.C_3^3 = 20\) số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(688886\) là 1 cụm thì có \(4\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(4C_3^3 = 4\) số

Vậy biến cố A có \(280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504\) phần tử

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{504}}{{1260}} = \dfrac{2}{5}\)