Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a. SA vuông góc với đáy. Dựng AH vuông góc SC ( H thuộc SC) và gọi M là trung điểm AB. Góc giữa hai mp (SCD) và (ABCD) bằng 60°. Tính góc giữa (SBC) và (SCD) = ???

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có:

`{(AH⊥SC),(AH⊥BC):}=>AH⊥(SBC)`  `(1)`

Kẻ `AI⊥(SCD)` `(2)`

Từ `(1),(2)``=>`$[\widehat{(SBC),(SCD)}]=\widehat{(AH,AI)}=\widehat{IAH}$

`DeltaSAD` có: `IA=(SA.AD)/(SD)=(a sqrt3)/2`

`SA^2=SI.SD=>SI=(3a^2)/(2a)=(3a)/2`

`DeltaSAC` có: `AH=(SA.AC)/(SC)=(a sqrt30)/5`

`SA^2=SH.SC=>SH=(3a^2)/(a sqrt5)=(3a)/sqrt5`

`DeltaSCD` có: `cos hat(CSD)=(SD)/(SC)=(2a)/(a sqrt5)=2/sqrt5`

`DeltaSIH` có: `IH^2=SI^2+SH^2-2.SI.SH.cos hat(CSD)`

`=(9a^2)/4+(9a^2)/5-2. (3a)/2. (3a)/sqrt5 . 2/sqrt5`

`=(9a^2)/20`

`DeltaIAH` có: `cos hat(IAH)=(AI^2+AH^2-IH^2)/(2.AI.AH)`

`=\frac{(3a^2)/4+(6a^2)/5-(9a^2)/20}{2. (a sqrt3 )/2 . (a sqrt30)/5}=sqrt10/4`

`=>hat(IAH)=arccos ``sqrt10/4`