Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các tam giác có độ dài ba cạnh là các phần tử của \(A\). Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc \(S\). Xác suất để phần tử được chọn là một tam giác cân bằng

Áp dụng BĐT tam giác: \(\left| {a - b} \right| < c < a + b\) (với \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác).

+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:

\(\left( {2;3;4} \right),\left( {2;4;5} \right),\left( {2;5;6} \right),\left( {3;4;5} \right),\left( {3;4;6} \right),\left( {3;5;6} \right),\left( {4;5;6} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có 7 tam giác không cân.

+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\) \( \Rightarrow a < 2b\).

TH1: \(b = 1 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow a = 1\): Có 1 tam giác cân.

TH2: \(b = 2 \Rightarrow a < 4 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\}\): Có 3 tam giác cân.

TH3: \(b = 3 \Rightarrow a < 6 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\): Có 5 tam giác cân.

TH4: \(b = 4 \Rightarrow a < 8 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

TH5: \(b = 5 \Rightarrow a < 10 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

TH6: \(b = 6 \Rightarrow a < 12 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

\( \Rightarrow \) Có \(1 + 3 + 5 + 6.3 = 27\) tam giác cân.

\( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 7 + 27 = 34\).

Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân” \( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{27}^1 = 27\).

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{27}}{{34}}\).