Các dạng toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất

+) Ta thấy \(55 \, \vdots \, 5;\,110 \, \vdots \, 5\) nên \(5 \in \) ƯC\(\left( {55;110} \right)\). Do đó A đúng.

+) Vì \(24 \, \vdots \,  3;24 \, \vdots \, 4\) nên \(24 \in BC\left( {3;4} \right)\). Do đó B đúng.

+) Vì \(55\) không chia hết cho (\10\) nên \(10 \notin \) ƯC \(\left( {55;110} \right)\). Do đó C đúng.

+) Vì \(12 \, \vdots \, 3;12 \, \vdots \, 4\) nên \(12 \in BC\left( {3;4} \right)\). Kí hiệu \(12 \subset BC\left( {3;4} \right)\) là sai. Do đó D sai.

Ư$(35) = \{ 1,5,7,35\} ;$Ư$(35) > 5 \Rightarrow X = \{ 7,35\} $

$B(8) = \{ 0,8,16,24,32,40,48,56,...\} $

$B(8) < 50 \Rightarrow Y = \{ 0,8,16,24,32,40,48\} $

Vì:

$X = \{ 7,35\} $

$Y = \{ 0,8,16,24,32,40,48\} $

$ \Rightarrow M = X \cap Y = \emptyset $  nên tập M không có phần tử nào.

Ta có \(B\left( {12} \right) = \left\{ {0;12;24;36;48;60;72;84;96;...} \right\}\)

\(B\left( {15} \right) = \left\{ {0;15;30;45;60;75;90;105;...} \right\}\)

\(B\left( {20} \right) = \left\{ {0;20;40;60;80;100;...} \right\}\)

Nên \(BC\left( {12;15;20} \right) = \left\{ {0;60;120;...} \right\}\) mà \(x \le 100\) và \(x \ne 0\) nên \(x = 60.\)

Có một số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

Vì \(x \, \vdots \, 45;\,x \, \vdots \, 110\) và \(x \, \vdots \, 75\) nên \(x \, \in BC\left( {45;75;110} \right)\) mà \(x\) nhỏ nhất nên  \(x = BCNN\left( {45;75;110} \right)\)

Ta có \(45 = {3^2}.5;\,75 = {3.5^2};\,110 = 2.5.11\)

Nên \(BCNN\left( {45;75;110} \right) = {2.3^2}{.5^2}.11\)\( = 4950.\)

Gọi số cần tìm là $a$ $( a \ne 0)$
Ước số lớn nhất của $a$  là $a$  
Bội số nhỏ nhất khác $0$  của $a$  là $a$  
Tích của ước số lớn nhất với bội số nhỏ nhất là: 
$a.a = 256 =  {16^2}$ $ \Rightarrow a = 16.$

Vậy số cần tìm là \(16.\)

Gọi số học sinh đi thăm quan là \(x\,\left( {x \in {N^*};\,800 \le x \le 900} \right)\) (học sinh)

Nếu xếp \(35\) hay \(40\) học sinh lên một ô tô thì đều thấy thiếu mất \(5\) ghế ngồi nghĩa là thừa ra 5 học sinh nên ta có

\(\left( {x - 5} \right) \vdots 35;\,\left( {x - 5} \right) \vdots 40\) suy ra \(\left( {x - 5} \right) \in BC\left( {35;40} \right)\).

Ta có \(35 = 5.7;\,40 = {2^3}.5\) nên \(BCNN\left( {35;40} \right) = {2^3}.5.7 = 280.\)

Suy ra \((x-5) \in BC\left( {35;40} \right) = B\left( {280} \right) = \left\{ {280;560;840;1120;...} \right\}\) mà \(800 \le  x \le 900\) nên \(x -5= 840\) hay $x=845.$

Vậy số học sinh đi thăm quan là \(845\) học sinh.

Vì $n$ chia $8$ dư $7$ nên $\left( {n - 7} \right) \vdots 8\,\,\,\,\left( {n > 7} \right)$
$ \Rightarrow n = 8a + 7$ với $a \in \mathbb{N}$$ \Rightarrow \left( {n + 1} \right) \vdots 8$

Vì $n$ chia $31$  dư $28$ nên $\left( {n - 28} \right) \vdots 31\left( {n > 28} \right)$ $ \Rightarrow n = 31b + 28$ $\left( {b \in \mathbb{N}} \right)$
$ \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots 31$
Vì $64 \vdots 8$ nên $\left( {n + 1 + 64} \right) \vdots 8$ hay $\left( {n + 65} \right) \vdots 8\left( 1 \right)$
Vì $62 \vdots 31$ $ \Rightarrow \left( {n + 3 + 62} \right) \vdots 31$ hay $\left( {n + 65} \right) \vdots 31$  (2) 
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \left( {n + 65} \right) \vdots $$BCNN\left( {8;31} \right)$
$ \Rightarrow \left( {n + 65} \right) \vdots 248$
$ \Rightarrow n = 248k - 65$ $\left( {k \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$
Với $k = 1$ $ \Rightarrow n = 248.1 - 65 = 183$
Với $k = 2 \Rightarrow n = 248.2 - 65 = 431$
Với $k = 3 \Rightarrow n = 248.3 - 65 = 679$
Với $k = 4 \Rightarrow n = 248.4 - 65 = 927$
Với $k = 5 \Rightarrow n = 248.5 - 65 = 1175$ (loại) 
Vì $n$  là số lớn nhất có $3$  chữ số nên $n = 927.$

Vì ƯCLN\(\left( {a;b} \right) = 18\) nên đặt \(a = 18x;\,b = 18y\) với \(x;y \in N;\,\)\(ƯCLN \left( {x;y} \right) = 1;\,y \ne 1.\)

Vì  ƯCLN\(\left( {a;b} \right).BCNN\left( {a;b} \right) = a.b\)

Nên \(18.630 = 18x.18y\) \( \Rightarrow x.y = \left( {18.630} \right):\left( {18.18} \right)\) hay \(x.y = 35\) mà \(y \ne 1\)

Do đó ta có:

+) Nếu \(x = 1\) thì \(y = 35\) khi đó \(a = 18.1 = 18;b = 35.18 = 630\)

+) Nếu \(x = 5\) thì \(y = 7\) khi đó \(a = 18.5 = 90;b = 7.18 = 126\)

+) Nếu \(x = 7\) thì \(y = 5\) khi đó \(a = 18.7 = 126;b = 5.18 = 90\)

Vậy có ba cặp số \(a;b\) thỏa mãn.

Gọi ƯCLN$\left( {a,b} \right) = d$ $ \Rightarrow a = d.m,b = d.n;\left( {m,n} \right) = 1$
$ \Rightarrow a + b = d\left( {m + n} \right)$ $ \Rightarrow d \in $ Ư$\left( {a + b} \right)$  hay $d \in $Ư$\left( {20} \right)$
Vì $BCNN\left( {a,b} \right) = 15$ \( \Rightarrow 15 \vdots d\) hay $d \in $Ư$\left( {15} \right)$
$ \Rightarrow d \in $  ƯC$\left( {15;20} \right)$
Mà ƯCLN$\left( {15;20} \right) = 5$ nên $d = 1$ hoặc $d = 5$
+) Nếu $d = 1 \Rightarrow a.b = 1.15 = 15 = 3.5$
Khi đó $a + b = 3 + 5 = 8$ (loại) 
Hoặc $a + b = 1 + 15 = 16$ (loại) 
+) Nếu $d = 5$ thì $a.b = 5.15 = 75 = 1.75$
Khi đó $a + b = 15 + 5 = 20$ (thỏa mãn) 
Hoặc $a + b = 1 + 75 = 76$ (loại) 
Vậy hai số cần tìm là $a = 5;b = 15.$

Vì \(a\) chia cho \(7\) dư \(4 \Rightarrow \left( {a + 3} \right) \vdots 7\)

\(a\) chia cho \(9\) dư \(6\) \( \Rightarrow \left( {a + 3} \right) \vdots 9\)

Do đó \(\left( {a + 3} \right) \in BC\left( {7;9} \right)\) mà \(BCNN\left( {7;9} \right) = 63.\)

Do đó \(\left( {a + 3} \right) \vdots 63 \Rightarrow a\) chia cho \(63\) dư \(60.\)

Ta có: 30 là bội của 10 và 15

=> BCNN(10, 15, 30) = 30.

BCNN(a,b) = 300

BC(a,b) là bội của 300.

=> Tất cả các số có 3 chữ số là bội chung của a và b là: 300, 600, 900

Vậy có tất cả 3 số có ba chữ số là bội của a và b.

- Gọi số bông sen chị Hòa có là: x (bông, \(x \in \mathbb{N}\)).

- Nếu chị bó thành các bỏ bông gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì số bông sen chị Hòa có là bội chung của 3, 5 và 7.

- Theo đề bài ta có xe BC(3, 5, 7) và 200 < x < 300

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(3, 5, 7) = 105

=> BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105, 210, 315;...}

=> x\( \in \) BC(3, 5, 7) ={0, 105, 210, 315,.... }.

Mà \(200 \le x \le 300\) nên x = 210.

Vậy số bông sen chị Hòa có là 210 bông.

Thời gian các xe cùng xuất bến cách 10h35p các khoảng thời gian là BC(9, 10, 15)

Ta có: 9 = \({3^2}\),   10 = 2.5,    15 = 3.5.

Thừa số chung và riêng là 2, 3 và 5

Số mũ lớn nhất của 2 là 1

Số mũ lớn nhất của 3 là 2

Số mũ lớn nhất của 5 là 1

=> BCNN(9, 10, 15) = \({2.3^2}.5\) = 90

Vậy cứ 90 phút thì các xe xuất bến cùng một lúc.

$54={{2.3}^{3}}$

$108={{2}^{2}}{{.3}^{3}}$

Các thừa số chung của 54 và 108 là 2 và 3.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2

Số mũ lớn nhất của 3 là 3.

\(BCNN(54,108)={{2}^{2}}{{.3}^{3}}=108\)

Ta có BCNN(8; 24) = 24 nên:

\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{{24}} = \dfrac{{3.3}}{{8.3}} + \dfrac{5}{{24}} = \dfrac{9}{{24}} + \dfrac{5}{{24}} = \dfrac{{14}}{{24}} = \dfrac{7}{{12}}\)