Đoạn thẳng

$M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM + MB = AB\\{\rm{MA  =  MB}}\end{array} \right.$

Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là:

$MN;\,MQ;NQ;ML;LP;MP;NP;QL$

Ta có $P$ là trung điểm của $MN$ thì $MP = NP = \dfrac{{MN}}{2}$

Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$  $\Leftrightarrow {\rm{AM  = }}\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.12 = 6cm$

Vậy $AM = 6cm$.

Vì G là một điểm thuộc đoạn thẳng HK nên G nằm giữa hai điểm H và K.

Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ nên $IM = IN = \dfrac{1}{2}MN$ hay $MN = 2.IN = 2.8 = 16cm$.

Vì $N$ là trung điểm đoạn $AM$ nên $AN = \dfrac{1}{2}AM$ hay $AM = 2AN = 2.1,5 = 3cm$

Lại có điểm $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên ta có $AM = \dfrac{1}{2}AB$ hay $AB = 2AM = 2.3 = 6cm$

Vậy $AB = 6cm$.

Vì điểm $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $AI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.8 = 4cm$

Vì điểm $K$ là trung điểm đoạn thẳng $AI$ nên $AK = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{1}{2}.4 = 2cm$

Vậy  $AI = 2cm$.

Số đoạn thẳng cần tìm là

$\dfrac{{10.\left( {10 - 1} \right)}}{2} = 45$ đoạn thẳng

Số đoạn thẳng tạo thành từ $n$ điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng là $\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$  $\left( {n \ge 2;\,n \in N} \right)$

Theo đề bài có $28$ đoạn thẳng được tạo thành nên ta có $\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 28 \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 56 = 8.7$

Nhận thấy $\left( {n - 1} \right)$ và $n$ là hai số tự nhiên liên tiếp, suy ra $n = 8.$

Đường thẳng $xx'$ cắt năm đoạn thẳng $OA;OB;AB$; $MA;MB$

+ Đáp án A: $AB < MN$  là đúng vì $AB = 4cm < 5cm = MN$.

+ Đáp án B: $EF < IK$ là đúng vì $EF = 3cm < 5cm = IK$

+ Đáp án C: $AB = PQ$ là đúng vì hai đoạn cùng có độ dài $4cm$

+ Đáp án D: $AB = EF$  là sai vì $AB = 4cm > 3cm = EF$.

Đoạn thẳng $AB$ không cắt đoạn thẳng $CD$ nhưng đường thẳng $AB$ cắt đoạn thẳng $CD$ nghĩa là đoạn thẳng $AB$ không có điểm chung với đoạn thẳng $CD$ và đường thẳng  $AB$có duy nhất một điểm chung với đoạn thẳng $CD.$

Hình vẽ thể hiện đúng diễn đạt trên là

Vì $E$ là điểm nằm giữa hai điểm $I$ và $K$ nên ta có $IE + EK = IK$

Hay $4 + 10 = IK$ suy ra $IK = 14\,cm.$

Vì điểm $P$ nằm giữa hai điểm  $I$ và $K$ nên ta có $PI + PK = IK \Rightarrow PI + IK = 8cm$ (1)

Theo đề bài $IP - PK = 4cm$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $IP = \dfrac{{8 + 4}}{2} = 6cm$ và $PK = \dfrac{{8 - 4}}{2} = 2cm$

Vậy $IP = 6cm;PK = 2cm.$

Vì điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ nên ta có $AC + CB = AB$ (1)

Thay  $AC = \dfrac{2}{3}CB$  (theo đề bài) vào (1) ta được $\dfrac{2}{3}CB + CB = AB$ $\Rightarrow CB.\left( {\dfrac{2}{3} + 1} \right) = 4,5$

$\Rightarrow CB.\dfrac{5}{3} = \dfrac{9}{2}$$\Rightarrow BC = \dfrac{9}{2}:\dfrac{5}{3} = \dfrac{{27}}{{10}} = 2,7\,cm$

Từ đó $AC = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}.2,7 = 1,8cm$.

Vậy $BC = 2,7cm;\,AC = 1,8cm.$