Các dạng toán về số nguyên tố, hợp số

$A.\,\,\,15 - 5 + 3 = 13$ là số nguyên tố

$B.\,\,\,7.2 + 1 = 14 + 1 = 15$, ta thấy $15$ có ước $1;3;5;15$ nên $15$ là hợp số.

$C.\,\,\,14.6:4 = 84:4 = 21,$ ta thấy $21$ có ước $1;3;7;21$ nên $21$ là hợp số

$D.\,\,\,6.4 - 12.2 = 24 - 24 = 0,$ ta thấy $0$ không là số nguyên tố, không là hợp số.

Đáp án A: Vì $37$  chỉ chia hết cho $1$ và $37$ nên $37$ là số nguyên tố, do đó chọn A.

Đáp án B: $34$  không phải là số nguyên tố ($34$  chia hết cho $\left\{ {2;{\rm{ }}4;{\rm{ }} \ldots } \right\}$). Do đó loại B.

Đáp án C: $36$  không phải là số nguyên tố ($36$ chia hết cho $\left\{ {1;\,\,2;{\rm{ 3;}}\,...;\,{\rm{36}}} \right\}$). Do đó loại C.

Đáp án D: $39$  không phải là số nguyên tố ($39$ chia hết cho $\left\{ {1;\,\,3;...\,;\,39} \right\}).$ Do đó loại D.

+) Ta có $A = 90.17 + 34.40 + 12.51$

Nhận thấy $17 \, \vdots \, 17;\,34 \, \vdots \,  17;51 \, \vdots \, 17$ nên $A = 90.17 + 34.40 + 12.51$ chia hết cho $17$ nên ngoài ước là $1$ và chính nó thì $A$ còn có ước là $17$. Do đó $A$ là hợp số.

+) Ta có $B = 5.7.9 + 2.5.6 = 5.\left( {7.9 + 2.6} \right) \, \vdots \, 5$ nên $B = 5.7.9 + 2.5.6$ ngoài ước là $1$ và chính nó thì $A$ còn có ước là $5$. Do đó $B$ là hợp số.

Vậy cả $A$ và $B$ đều là hợp số.

A. Đáp án này đúng vì mọi số tự nhiên đều có ước chung là $1$.

B. Đáp án này sai, vì $0$ không là ước của $1$ số nào cả.

C. Đáp án này sai, vì số nguyên tố có $2$ ước là $1$ và chính nó.

D. Đáp án này sai, vì $2$ số nguyên tố có ước chung là $1$.

Tổng $3$ số nguyên tố là $578$ là số chẵn, nên trong $3$ số nguyên tố có ít nhất $1$ số là số chẵn. Ta đã biết số $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong $3$ số nguyên tố có tổng là $578$ là số $2.$

Các số $x$ thỏa mãn $50 < x < 60$ là $51;52;53;54;55;56;57;58;59$

Trong đó các số nguyên tố là $53;59.$

Vậy có hai số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

Ta có ${n^2} + 12n = n\left( {n + 12} \right);\,n + 12 > 1$ nên để ${n^2} + 12n$ là số nguyên tố thì $n = 1.$

Thử lại ${n^2} + 12n = {1^2} + 12.1 = 13$ (nguyên tố)

Vậy với $n = 1$ thì ${n^2} + 12n$ là số nguyên tố.

Đặt $p = 3a + r\,\,\left( {r = 0;1;2;\,a \in N} \right)$

Với $r = 1$ ta có $p + 8 = 3a + r + 8 = \left( {3a + 9} \right) \vdots 3,\,\left( {3a + 9} \right) > 3$ nên $p + 8$ là hợp số. Do đó loại $r = 1.$

Với $r = 2$ ta có $p + 4 = 3a + r + 4 = \left( {3a + 6} \right) \vdots 3,\,\left( {3a + 6} \right) > 3$ nên $p + 4$ là hợp số. Do đó loại $r = 2.$

Do đó $r = 0;p = 3a$ là số nguyên tố nên $a = 1 \Rightarrow p = 3.$

Ta có $p + 4 = 7;p + 8 = 11$ là các số nguyên tố.

Vậy $p = 3.$

Có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài.

Ta có $p = 42.a + r = 2.3.7.a + r\,\left( {a,r \in N;0 < r < 42} \right)$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $r$ không chia hết cho $2;3;7.$

Các hợp số nhỏ hơn $42$ không chia hết cho $2$ là $9;15;21;25;27;33;35;39$

Loại bỏ các số chia hết cho $3$ và $7$ ta còn số $25.$

Vậy $r = 25.$

91 có tổng các chữ số bằng 10 không chia hết cho 3 nên 3 không là ước nguyên tố của 91

91 có chữ số tận cùng là 1 nên 91 không chia hết cho 2, do đó 2 không là ước nguyên tố.

Một ước số nguyên tố của 91 là: 7.