Cho hình thoi \(ABCD\) cạnh $a$ và \(\widehat {BCD} = {60^0}\). Gọi $O$ là tâm hình thoi. Chọn kết luận đúng:
Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\) (quy tắc hình bình hành)
Xét tam giác \(BCD\) có \(CD = CB = a\) và góc \(\widehat {BCD} = {60^0}\) nên tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\)
Xét tam giác \(DOC\) có \(\widehat O = {90^0}\) và \(DC = a,DO = \dfrac{1}{2}DB = \dfrac{a}{2}\) nên \(CO = \sqrt {D{C^2} - D{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Do đó \(AC = 2OC = 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) hay \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3 \) nên A đúng.
Lại có:
\(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DO} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CO} \) nên \(\left| {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} } \right| = CO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\left| {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} } \right| = \,\,\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \ne \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\) nên B sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm là \(O\) và cạnh \(a\). \(M\) là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} \) không phụ thuộc vị trí điểm \(M\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u \)
Theo quy tắc phép trừ ta có
\(\overrightarrow u = \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MD} } \right) = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DB} \)
Suy ra \(\overrightarrow u \) không phụ thuộc vị trí điểm \(M\).
Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(DB\) cắt \(BC\) tại \(C'\).
Khi đó tứ giác \(ADBC'\) là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC'} \)
Do đó \(\overrightarrow u = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {CC'} \)
=> \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right| =CC'= BC + BC' \)
Mà ta có $BC'=AD=a$ (do $ADBC'$ là hình bình hành) và $BC=a$ (gt)
Vậy \(\left| {\overrightarrow u } \right| = a + a = 2a\)
Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai?
Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 .\end{array}\)
Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh: \(3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \) \(= \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Tương tự ta có: \(3\overrightarrow {MG'} = \overrightarrow {MA'} + \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {MC'} \)
Từ đó suy ra
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = 3\left( {\overrightarrow {MG'} - \overrightarrow {MG} } \right) = 3\overrightarrow {MG'} - 3\overrightarrow {MG} \\ = \overrightarrow {MA'} + \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} \\ = \left( {\overrightarrow {MA'} - \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB'} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MC} } \right)\\ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} .\end{array}\)
Nên A đúng.
Đáp án B:
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'G'} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {A'G'} \\ + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CB'} + \overrightarrow {B'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {C'G'} + \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} \end{array}\)
Nên B đúng.
Đáp án C:
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {C'G'} \\ + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CA'} + \overrightarrow {A'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} + \overrightarrow {A'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} \end{array}\)
Nên C đúng.
D sai do A đúng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có và \(BC = a\sqrt 5 \). Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
Gọi \(D\) là điểm sao cho tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)
Vì tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) nên tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật suy ra \(AD = BC = a\sqrt 5 \)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = a\sqrt 5 \)
Cho hình bình hành \(ABCD\). Trên các đoạn thẳng\(DC,\,\,AB\) theo thứ tự lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(DM = BN\). Gọi \(P\) là giao điểm của \(AM,\,\,DB\) và \(Q\) là giao điểm của \(CN,\,\,DB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có \(DM = BN \Rightarrow AN = MC\), mặt khác \(AN\) song song với \(MC\) do đó tứ giác \(ANCM\) là hình bình hành
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {NC} \).
Xét tam giác \(\Delta DMP\) và \(\Delta BNQ\) ta có \(DM = NB\) (giả thiết), \(\widehat {PDM} = \widehat {QBN}\) (so le trong)
Mặt khác \(\widehat {DMP} = \widehat {APB}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {APQ} = \widehat {NQB}\) (hai góc đồng vị) suy ra \(\widehat {DMP} = \widehat {BNQ}\).
Do đó \(\Delta DMP = \Delta BNQ\) (c.g.c) suy ra \(DP = QB\).
Dễ thấy \(\overrightarrow {DP} ,\,\,\overrightarrow {QB} \) cùng hướng vì vậy \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {QB} \).
Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Dựng điểm \(B'\) sao cho \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {AG} \), gọi $J$ là trung điểm của \(BB'\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {AG} \) suy ra \(B'B = AG\).
Dễ thấy \(\overrightarrow {BJ} ,\,\,\overrightarrow {IG} \) cùng hướng (1).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(IG = \dfrac{1}{2}AG\), \(J\) là trung điểm \(BB'\) suy ra \(BJ = \dfrac{1}{2}BB'\)
Vì vậy \(BJ = IG\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {IG} \).
Cho tam giác ABC và I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 3\overrightarrow {IB} \). Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {CA} - 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {CA} - 3\left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CI} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} - 3\overrightarrow {CB} + 3\overrightarrow {CI} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CI} = 3\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = \dfrac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} } \right)\end{array}\)
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $1$. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) ?
Lấy điểm $D$ sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.1.\cos {120^0} = - \dfrac{1}{2}\)
(vì tam giác $ABC$ đều cạnh $1$ nên \(AB = BC = 1 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 1\))
Cho hình thang vuông \(ABCD\) có đáy lớn \(AB = 4a\), đáy nhỏ \(CD = 2a\), đường cao \(AD = 3a\); \(I\) là trung điểm của \(AD\) . Khi đó \(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} \) bằng:
Ta có \(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID} = - \dfrac{{9{a^2}}}{2}\) nên chọn B.
Cho $2$ vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)có độ dài bằng \(1\) thỏa\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\). Hãy xác định \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)\)
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\),\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\), \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 7\)
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) và \(G\) là trọng tâm. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AG\). Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow {BI} $.
Ta có $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a$
Gọi $M$ là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\)
Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) nên \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Mà \(I\) là trung điểm của \(AG\) nên \(MI = AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\)
Cho 2 vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^{\rm{o}}}\). Tính \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
Ta có \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}} = \sqrt {{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b } \)\( = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)} = \sqrt {21} \)
Cho hình thoi \(ABCD\) có tâm \(O\). Hãy cho biết số khẳng định đúng ?
a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
c) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC} \)
d) \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} \)
e) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)
f) \(2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
a) Sai vì hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) không cùng hướng.
b) Đúng vì hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài.
c) Đúng vì hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \) đối nhau.
d) Sai vì \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) không cùng độ dài và không cùng hướng
e) Đúng vì \(AB = BC\)
f) Sai vì \(2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2OA = AC \ne BD = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
Vậy có \(3\) khẳng định đúng.
Cho \(3\) điểm phân biệt \(A,B,C\). Nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) thì có nhận xét gì về ba điểm $A,B,C$?
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \(AB = BC\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} $.
Ta có
$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2M{O^2} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right).\end{array}$
Có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0,\overrightarrow {OC} \bot \overrightarrow {OD} \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} = 0\)
Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính \(\dfrac{a}{2} \Rightarrow MO = \dfrac{a}{2} \Rightarrow M{O^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
Vậy $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 2.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$
Cho ba vector $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = a,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = b,\,\,\left| {\overrightarrow c } \right| = c$ và $\overrightarrow a + \overrightarrow b + 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 $. Tính $A = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow c + \overrightarrow c .\overrightarrow a $
Ta có $\overrightarrow a + \overrightarrow b + 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = - 2\overrightarrow c $ $ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2} = 4{\overrightarrow c ^2} $ $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2A = 4{c^2}$
Do đó $A = \dfrac{1}{2}\left( {3{c^2} - {a^2} - {b^2}} \right)$.
Cho ba điểm $A,B,C$ phân biệt thẳng hàng. Khi nào thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng?
Hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) có chung gốc \(A\) nên chúng cùng hướng nếu hai điểm \(B,C\) nằm cùng phía so với điểm \(A\) hay điểm \(A\) nằm ngoài đoạn \(BC\)
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là điểm đối xứng với \(C\) qua $D$. Độ dài véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) là:
Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(P\).
Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \dfrac{a}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(NPM\) ta có
\(M{N^2} = N{P^2} + P{M^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Hãy tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MD} \).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(MAD\) ta có
\(D{M^2} = A{M^2} + A{D^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow DM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Cho tứ giác \(ABCD\). Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác.
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn \(A,\,\,B\) ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} \). Mà từ bốn đỉnh $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ của tứ giác ta có $6$ cặp điểm phân biệt do đó có $12$ vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
