Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} $.

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2M{O^2} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right).\end{array}$

Có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB}  \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0,\overrightarrow {OC}  \bot \overrightarrow {OD}  \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD}  = 0\)

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính \(\dfrac{a}{2} \Rightarrow MO = \dfrac{a}{2} \Rightarrow M{O^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.\)

Vậy $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = 2.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$