Cho hình thoi \(ABCD\) có tâm \(O\). Hãy cho biết số khẳng định đúng ?
a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
c) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC} \)
d) \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} \)
e) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)
f) \(2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
a) Sai vì hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) không cùng hướng.
b) Đúng vì hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài.
c) Đúng vì hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \) đối nhau.
d) Sai vì \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) không cùng độ dài và không cùng hướng
e) Đúng vì \(AB = BC\)
f) Sai vì \(2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2OA = AC \ne BD = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
Vậy có \(3\) khẳng định đúng.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 2;3} \right)\) và tâm \(I\left( {1;1} \right)\). Biết điểm \(K\left( { - 1;2} \right)\) nằm trên đường thẳng $AB$ và điểm $D$ có hoành độ gấp đôi tung độ. Chọn kết luận đúng:
Gọi \(D\left( {2a;a} \right) \Rightarrow B\left( {2 - 2a;2 - a} \right)\)
\(\overrightarrow {AK} \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AB} \left( {4 - 2a; - 1 - a} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AK} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên \(\dfrac{{4 - 2a}}{1} = \dfrac{{ - 1 - a}}{{ - 1}} \Rightarrow a = 1 \) \(\Rightarrow D\left( {2;1} \right),\,\,B\left( {0;1} \right)\)
Tìm trên trục hoành điểm $P$ sao cho tổng khoảng cách từ $P$ tới hai điểm $A$ và $B$ là nhỏ nhất, biết \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\)
Dễ thấy $A,B$ cùng phía với trục hoành.
Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục hoành, suy ra \(A'\left( {1; - 2} \right)\) và \(PA = PA'\)
Ta có \(PA + PB = PA' + PB \ge A'B\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'P} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'B} \)
Suy ra \(\dfrac{{{x_P} - 1}}{{3 - 1}} = \dfrac{{0 + 2}}{{4 + 2}} \Rightarrow {x_P} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow P\left( {\dfrac{5}{3};0} \right)\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(A(3;4),{\rm{ }}B(2;1),{\rm{ }}C( - 1; - 2)\). Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho \({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}\)
Ta có\({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} \)
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} \left( {x - 2;y - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 3} \right)\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 = 3\left( {x - 2} \right)}\\{ - 3 = 3\left( {y - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 = - 3\left( {x - 2} \right)}\\{ - 3 = - 3\left( {y - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)
Vậy có hai điểm thỏa mãn \({M_1}\left( {1;0} \right),\,\,{M_2}\left( {3;2} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(6;3),{\rm{ }}B( - 3;6),{\rm{ }}C(1; - 2)\). Gọi điểm $D$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng, điểm $E$ thuộc đoạn $BC$ sao cho \(BE = 2EC\). Xác định giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$.
$D$ trên trục hoành \( \Rightarrow D\left( {x;0} \right)\)
Ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng suy ra \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) cùng phương
Mặt khác \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 6; - 3} \right)\) do đó \(\dfrac{{x - 6}}{{ - 9}} = \dfrac{{ - 3}}{3} \Rightarrow x = 15\)
Vậy \(D\left( {15;0} \right)\)
Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và \(BE = 2EC\) suy ra \(\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {EC} \)
Gọi \(E\left( {x;y} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {BE} \left( {x + 3;y - 6} \right),\,\,\overrightarrow {EC} \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 = 2\left( {1 - x} \right)}\\{y - 6 = 2\left( { - 2 - y} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \dfrac{1}{3}}\\{y = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy \(E\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của $DE$và $AC$.
Do đó \(\overrightarrow {DI} \left( {x - 15;y} \right),\,\overrightarrow {DE} \left( { - \dfrac{{46}}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\) cùng phương suy ra \(\dfrac{{3\left( {x - 15} \right)}}{{ - 46}} = \dfrac{{3y}}{2} \Rightarrow x + 23y - 15 = 0\) (1)
\(\overrightarrow {AI} \left( {x - 6;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)\) cùng phương suy ra \(\dfrac{{x - 6}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} \Rightarrow x - y - 3 = 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(x = \dfrac{7}{2}\) và \(y = \dfrac{1}{2}\)
Vậy giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$ là \(I\left( {\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
