Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(6;3),{\rm{ }}B( - 3;6),{\rm{ }}C(1; - 2)\). Gọi điểm $D$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng, điểm $E$ thuộc đoạn $BC$ sao cho \(BE = 2EC\). Xác định giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$.

$D$ trên trục hoành \( \Rightarrow D\left( {x;0} \right)\)

Ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng suy ra \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) cùng phương

Mặt khác \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 6; - 3} \right)\) do đó \(\dfrac{{x - 6}}{{ - 9}} = \dfrac{{ - 3}}{3} \Rightarrow x = 15\)

Vậy \(D\left( {15;0} \right)\)

Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và \(BE = 2EC\) suy ra \(\overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {EC} \)

Gọi \(E\left( {x;y} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {BE} \left( {x + 3;y - 6} \right),\,\,\overrightarrow {EC} \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 = 2\left( {1 - x} \right)}\\{y - 6 = 2\left( { - 2 - y} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \dfrac{1}{3}}\\{y = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy \(E\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của $DE$và $AC$.

Do đó \(\overrightarrow {DI} \left( {x - 15;y} \right),\,\overrightarrow {DE} \left( { - \dfrac{{46}}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\) cùng phương suy ra \(\dfrac{{3\left( {x - 15} \right)}}{{ - 46}} = \dfrac{{3y}}{2} \Rightarrow x + 23y - 15 = 0\) (1)

\(\overrightarrow {AI} \left( {x - 6;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)\) cùng phương suy ra \(\dfrac{{x - 6}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} \Rightarrow x - y - 3 = 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x = \dfrac{7}{2}\) và \(y = \dfrac{1}{2}\)

Vậy giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$ là \(I\left( {\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)