Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

$\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l}I\left( {0;0} \right)\\R = 1\end{array} \right.$ $\to \left( C \right):{(x-0)^2} + {(y-0)^2} = 1$ $\to \left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1.$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{6 - 2}}{2} = 2\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 0}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1} \right)$

Mặt khác $R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}} }}{2} = \dfrac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17}$

Khi đó, $(C)$ có dạng là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17$

Giả sử điểm $I({x_I};{y_I})$ là tâm của đường tròn $(C).$ Vì $I$ nằm trên đường thẳng $x + y + 2 = 0$ nên ta có ${x_I} + {y_I} + 2 = 0$   (1)

Vì đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {1;0} \right)$ nên ta có $IA = IB$. Điều này tương đương với

$I{A^2} = I{B^2}$  hay

$\begin{array}{l}{\left( {{x_I}} \right)^2} + {\left( {1 - {y_I}} \right)^2} = {\left( {1 - {x_I}} \right)^2} + {\left( {{y_I}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x_I^2 + y_I^2 - 2{y_I} + 1 = x_I^2 - 2{x_I} + 1 + y_I^2\\ \Leftrightarrow {x_I} = {y_I}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra ${x_I} = {y_I} =  - 1$. Suy ra $I\left( { - 1; - 1} \right)$.

Mặt khác ta có $R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5$ 

Vậy $(C)$ có dạng ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5$

Cách làm:

${x^2} + {y^2} = 8$. Ta thay $A(0;2)$ vào phương trình có ${0^2} + {2^2} = 8$ là mệnh đề sai. Loại A

${x^2} + {y^2} + 2x + 4 = 0$. Ta thay $A(0;2)$ vào phương trình có ${0^2} + {2^2} + 2.0 + 4 = 0$ là mệnh đề sai. Loại B

${x^2} + {y^2} - 2x - 8 = 0$ Ta thay $A(0;2)$ vào phương trình có ${0^2} + {2^2} - 2.0 - 8 = 0$ là mệnh đề sai. Loại C.

- Điểm $B$ thuộc ${d_1}:x + y + 5 = 0$ nên ta giả sử $B(b; - b - 5)$

Điểm $C$ thuộc ${d_2}:x + 2y - 7 = 0$ nên ta giả sử $C(7 - 2c,c)$

Vì tam giác $ABC$ có $A(2;3)$, trọng tâm là $G(2; 0)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}2 + b + 7 - 2c = 6\\3 - b - 5 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 2c =  - 3\\ - b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b =  - 1\end{array} \right.$

Suy ra $B( - 1; - 4)$ và $C(5;1)$

- Giả sử phương trình đường tròn cần lập có dạng ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$. Vì đường tròn qua $3$ điểm  $A(2;3)$, $B( - 1; - 4)$ và $C(5;1)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}4a + 6b + c =  - 13\\ - 2a - 8b + c =  - 17\\10a + 2b + c =  - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 83}}{{54}}\\b = \dfrac{{17}}{{18}}\\c =  - \dfrac{{338}}{{27}}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường tròn là:

$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 2.\left( { - \frac{{83}}{{54}}} \right)x + 2.\left( {\frac{{17}}{{18}}} \right)y - \frac{{338}}{{27}} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \frac{{83}}{{27}}x + \frac{{17}}{9}y - \frac{{338}}{{27}} = 0 \end{array}$

Đường tròn $(C )$ có tâm $I( - 1;3)$ và bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 9}  = 1$.

Ta có: $d(I;d) = \dfrac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2 > R$

Suy ra $d$ không cắt $(C ).$

Ta có $IM + MN \ge IN \Leftrightarrow MN \ge IN - R$ 

$MN$ min  $\Leftrightarrow$  $IN$ đạt min $\Leftrightarrow$ $N$ là chân hình chiếu vuông góc của $I$ xuống đường thẳng $d.$

Giả sử $N(a;b)$. Vì $N \in d$ nên ta có $3a{\rm{  -  }}4b{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ (1)

Mặt khác, ta có: $IN$ vuông góc với $d$ nên $\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0$. Mà $\overrightarrow {IN}  = \left( {a + 1;b - 3} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4;3} \right)$. Suy ra ta có: $4(a + 1) + 3(b - 3) = 0 \Leftrightarrow 4a + 3b - 5 = 0$   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b - 5 = 0\\3a - 4b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{5}\\b = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$

Vì $d(I;d) = 2R$ nên $M$ là trung điểm của $IN$. Do đó, tọa độ của $M$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + \dfrac{1}{5}} \right) =  - \dfrac{2}{5}\\{y_M} = \dfrac{1}{2}\left( {3 + \dfrac{7}{5}} \right) = \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right)$

Đường tròn $\left( {{C_m}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2mx + \left( {4m + 2} \right)y - 6m - 5 = 0$ có tâm ${I_m}\left( {m; - 2m - 1} \right)$

Dễ thấy $2{x_I} + {y_I} = 2.m + \left( { - 2m - 1} \right) =  - 1$

Vậy ${I_m}$ thuộc đường thẳng $2x + y =  - 1 \Leftrightarrow y =  - 2x - 1$

Đường tròn $({C_m}):{x^2} + {y^2} - 2mx - 4my - 5 = 0$ ($m$ là tham số) có bán kính bằng 5

$\Leftrightarrow {R^2} = {m^2} + 4{m^2} + 5 = 25$ $\Leftrightarrow 5{m^2} = 20 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2$