Phương trình quy về phương trình bậc hai

$\sqrt {5{x^2} + 4x}  - \sqrt {{x^2} - 3x - 18}  = 5\sqrt x \,\,\,\left( 1 \right)$

(ĐK : $\left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 4x \ge 0\\{x^2} - 3x - 18 \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,x \le  - \dfrac{4}{5}\\x \ge 6,x \le  - 3\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 6$)

Khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {5{x^2} + 4x}  = 5\sqrt x  + \sqrt {{x^2} - 3x - 18}$

$\Leftrightarrow 5{x^2} + 4x = 25x + {x^2} - 3x - 18 + 10\sqrt x .\sqrt {{x^2} - 3x - 18}$

$\Leftrightarrow 4{x^2} - 18x + 18 = 10\sqrt {x\left( {{x^2} - 3x - 18} \right)}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 9 = 5\sqrt {x\left( {x - 6} \right)\left( {x + 3} \right)}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 3x + 9 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {x + 3} \right)}$

$\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 6x} \right) + 3\left( {x + 3} \right) = 5\sqrt {{x^2} - 6x} .\sqrt {x + 3}$

Dễ thấy $x = 6$ không là nghiệm phương trình nên với $x > 6$ ta chia cả hai vế cho ${x^2} - 6x > 0$ ta được :

$2 + 3.\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 6x}} = 5.\dfrac{{\sqrt {x + 3} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x} }}\,\,\left( 2 \right)$

Đặt $\dfrac{{\sqrt {x + 3} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x} }} = t > 0$ thì $\left( 2 \right)$ trở thành $3{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

+ Nếu $t = 1$ thì $\sqrt {x + 3}  = \sqrt {{x^2} - 6x}$$\Leftrightarrow x + 3 = {x^2} - 6x$$\Leftrightarrow {x^2} - 7x - 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{{7 - \sqrt {61} }}{2}\left( L \right)\end{array} \right.$

+ Nếu $t = \dfrac{2}{3}$ thì $\sqrt {x + 3}  = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 6x}$ $\Leftrightarrow x + 3 = \dfrac{4}{9}\left( {{x^2} - 6x} \right)$ $\Leftrightarrow 4{x^2} - 33x - 27 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\left( {TM} \right)\\x =  - \dfrac{3}{4}\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {61} }}{2};9} \right\}$ hay $S$ có $2$ phần tử.

Bước 1:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} - mx + 3}  = \sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - mx + 3 = 2x - 1\\2x - 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 4 = 0(*)\\x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Bước 2:

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_1} > {x_2} \ge \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 1\\\left( {{x_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} - \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 16 > 0\\m + 2 > 1\\4 - \dfrac{1}{2}\left( {m + 2} \right) + \dfrac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 2 > 4\\m + 2 <  - 4\end{array} \right.\\m >  - 1\\m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 6\end{array} \right.\\m >  - 1\\m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array}$

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}$.

Vậy có 4 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.