Nhị thức Newton

Thay $x = y = 1$  có ${\left( {1 - 2.1} \right)^{2020}} = {\left( { - 1} \right)^{2020}} = 1$.

Vậy tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển nhị thức ${\left( {x - 2y} \right)^{2020}}$ bằng 1.

Khai triển nhị thức ${\left( {x + 2} \right)^{n + 5}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)$ có tất cả $2019$ số hạng nên $n + 5 +1= 2019 \Leftrightarrow n = 2013$.

Xét: ${\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.$

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào 2 vế $\Rightarrow {\left( {1 + 2.\dfrac{1}{2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}\dfrac{1}{2} + ... + {a_n}\dfrac{1}{{{2^n}}}$

$\Leftrightarrow {2^n} = 4096 \Leftrightarrow {2^n} = {2^{12}}$$\Leftrightarrow n = 12$

$\Rightarrow$ Biểu thức là: ${\left( {1 + 2x} \right)^{12}}$

+ Số hạng tổng quát của khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_{12}^k{.2^k}.{x^k}$

$+ )$Hệ số lớn nhất $\Leftrightarrow y = C_{12}^k{.2^k}$ max $\left( {0 \le k \le 12} \right)$

Mà hệ số max $\Rightarrow {k_{\max }}$$\Rightarrow$ Muốn $k$ max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1)

$\Rightarrow$ Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(1)\\C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(2)\end{array} \right.$

+ (1) $\Leftrightarrow$$\dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\,\,(12 - k + 1)!}}.\dfrac{{{2^k}}}{2} < \dfrac{{12!}}{{k!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}{.2^k}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{(k - 1)!\,\,\left( {13 - k} \right)\left( {12 - k} \right)!}}.\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{{k\left( {k - 1} \right)!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2.\left( {13 - k} \right)}} < \dfrac{1}{k} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}$

+ (2) ta làm tương tự như trên$\Rightarrow \dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\\\dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < \dfrac{{26}}{3}\\k > \dfrac{{23}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 8,6\\k > 7,6\end{array} \right.$(Mà k là số nguyên)$\Rightarrow k = 8$

$\Rightarrow$Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là: $y\left( 8 \right) =$$C_{12}^8{.2^8} = 126720$

$+ )$$C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024$

$\Leftrightarrow 2\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right] = 2.1024$

$\Leftrightarrow \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024$(*)

Vì $C_n^k = C_n^{n - k}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\....\end{array} \right.$$\Rightarrow$$C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1$

(Nói cách khác: Tổng các C có chỉ số chẵn = Tổng các C có chỉ số lẻ)

(*) $\Rightarrow$$\left( {C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024$

$\Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2048$

$\Leftrightarrow {\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = 2048$$\Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 2048$$\Leftrightarrow 2n + 1 = 11$$\Leftrightarrow n = 5$

$+ )$Số hạng tổng quát của khai triển: ${\left( {2 - 3x} \right)^{10}}$là: ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{.2^{10 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}$

Số hạng chứa ${x^5}$$\Rightarrow {x^5} = {x^k}$$\Leftrightarrow k = 5$

$\Rightarrow$ Hệ số của số hạng chứa${x^5}$là: $C_{10}^5{.2^5}.{\left( { - 3} \right)^5} =  - 1959552$

${\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{3n}} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - 3k}} = C_{3n}^0.{x^{3n}} + ... + C_{3n}^{3n}.{x^0}$(*)

+) Tổng các hệ số là: $C_{3n}^0 + .. + C_{3n}^{3n} = 64$

$+ )$Thay $x = 1$ vào cả 2 vế của (*) $\Rightarrow$${2^{3n}} = C_{3n}^0 + ... + C_{3n}^{3n} \Leftrightarrow {2^{3n}} = 64$$\Rightarrow n = 2$

$+ )$Số hạng tổng quát của khai triển là:

${T_{k + 1}} = C_{3n}^k.{x^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}$$= C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^k}$$= C_6^k.{x^{6 - 3k}}$

$+ )$Số hạng không chứa $x$$\Leftrightarrow 6 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

$\Rightarrow$Số hạng không chứa $x$là: $C_6^2 = 15$