Tổ hợp

I. Định nghĩa tổ hợp

Ví dụ: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu.

Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.

Giải

Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:

{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu},

{áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.

II. Số các tổ hợp

Chú ý:

+ Quy ước $C_n^0 = 1$

+ $C_n^k = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}$

- Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ: Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?

Giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7.

Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là: $C_7^4 = \dfrac{{7!}}{{4!3!}} = 35$

III. Tính chất tổ hợp chập k của n phần tử Ta có hai đẳng thức sau:

Ta có hai đẳng thức sau:

+$C_n^k = C_n^{n - k}\left( {0 \le k \le n} \right)$

+$C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\left( {1 \le k < n} \right)$

Ví dụ:

a) $C_9^4 = C_9^5$

b) $C_8^3 + C_8^4 = C_9^4$

IV. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

1.Hoán vị

Để tính ${P_8} = 8!$, ta ấn liên tiếp các phím:

Ta được kết quả là 40 320

2.Chỉnh hợp

Để tính $A_{12}^5$, ta ấn liên tiếp các phím:

Ta nhận được kết quả là 95 040.

3.Tổ hợp

Để tính $C_{20}^{11}$, ta ấn liên tiếp các phím:

Ta nhận được kết quả là 167 960.