Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Cho $\vec u{\rm{\;}} = (x;y)$ ;$\vec u'{\rm{\;}} = (x';y')$ và số thực $k$. Khi đó ta có:

Chú ý:

Điều kiện để hai véc tơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ cùng phương là $\dfrac{{{u_1}}}{{{v_1}}} = \dfrac{{{u_2}}}{{{v_2}}}$ với ${v_1}.{v_2} \ne 0$

II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

a) Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Nếu $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ là trung điểm đoạn thẳng $A B$ thì

b) Cho tam giác $A B C$ có $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Nếu $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì

III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nhận xét

a) Nếu $\vec a = (x;y)$ thì $|\vec a| = \sqrt {\vec a \cdot \vec a} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

b) Nếu $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $AB = |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$.

c) Với hai vectơ $\vec u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $\vec v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)$ khác $\vec 0$, ta có:

+) $\vec u$ và $\vec v$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$.

+) $\cos (\vec u,\vec v) = \dfrac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}.$