I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Cho \(\vec u{\rm{\;}} = (x;y)\) ;\(\vec u'{\rm{\;}} = (x';y')\) và số thực \(k\). Khi đó ta có:
1) \(\vec u = \vec u' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = x'}\\{y = y'}\end{array}} \right.\)
2) \(\vec u{\rm{\;}} \pm \vec v{\rm{\;}} = (x \pm x';y \pm y')\)
3) \(k.\vec u{\rm{\;}} = (kx;ky)\)
4) \(\vec u'\) cùng phương \(\vec u\)(\(\vec u{\rm{\;}} \ne \vec 0\)) khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x' = kx}\\{y' = ky}\end{array}} \right.\)
Chú ý:
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương là \(\dfrac{{{u_1}}}{{{v_1}}} = \dfrac{{{u_2}}}{{{v_2}}}\) với \({v_1}.{v_2} \ne 0\)
II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác
a) Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Nếu \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là trung điểm đoạn thẳng $A B$ thì
\({x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}.\)
b) Cho tam giác $A B C$ có \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Nếu \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) là trọng tâm tam giác $ABC$ thì
\({x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}.\)
III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Nếu \(\vec u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\vec v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \(\vec u \cdot \vec v = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\).
Nhận xét
a) Nếu \(\vec a = (x;y)\) thì \(|\vec a| = \sqrt {\vec a \cdot \vec a} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
b) Nếu \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \(AB = |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \).
c) Với hai vectơ \(\vec u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\vec v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\) khác \(\vec 0\), ta có:
+) \(\vec u\) và \(\vec v\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\).
+) \(\cos (\vec u,\vec v) = \dfrac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}.\)
