Bất phương trình bậc hai một ẩn

I. Bất phương trình bậc hai một ẩn

- Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có dạng $a{x^2} + bx + c > 0$ (hoặc $\left. {a{x^2} + bx + c \ge 0,a{x^2} + bx + c < 0,a{x^2} + bx + c \le 0} \right)$, trong đó $a, b, c$ là những số thực đã cho và $a \ne 0$.

- Số thực ${x_0}$ gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c > 0$, nếu $ax_0^2 + b{x_0} + c > 0$. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c > 0$ gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

II. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai $f(x) = a{x^2} + bx + c > 0$ là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó $f(x)$ cùng dấu với hệ số a (nếu $a > 0$) hay trái dấu với hệ số $a$ (nếu $a < 0$).

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng $f(x) > 0\left( {f(x) = a{x^2} + bx + c} \right)$, ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của $x$ sao cho $f(x)$ mang dấu "+". Cụ thể, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định dấu của hệ số $a$ và tìm nghiệm của $f(x)$ (nếu có).

Bước 2. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của $x$ sao cho $f(x)$ mang dấu "+”.

Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng $f(x) < 0,f(x) \ge 0,f(x) \le 0$ được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ:

Giải bất phương trình: ${x^2} + 5x + 4 > 0$

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} + 5x + 4$ có $\,a = 1 > 0$ và có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = - 4;\,\,{x_2} = - 1$ nên:

$f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)$.

Vậy bất phương trình ${x^2} + 5x + 4 > 0$ có tập nghiệm là $x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)$.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c > 0$ là tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol $y = a{x^2} + bx + c$ nằm phía trên trục hoành.

- Tương tự, giải bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c < 0$ là tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol $y = a{x^2} + bx + c$ nằm phía dưới trục hoành.

III. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh;...