Elip

I. Tính đối xứng của Elip

Ôn tập:

Ta đã biết elip (E) với phương trình chính tắc $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)$ có các yếu tố:

Tính đối xứng:

II. Hình chữ nhật cơ sở của elip

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) với phương trình chính tắc $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)$. Khi đó, ta có:

Ví dụ:

Cho elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của elip

b) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của elip.

Giải

a) Ta có: ${a^2} = 25 \Rightarrow a = 5$; ${b^2} = 9 \Rightarrow b = 3$.

Vậy elip có các đỉnh là ${A_1}\left( { - 5;0} \right),\,{A_2}\left( {5;0} \right),\,{B_1}\left( {0; - 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right)$.

b)Tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là:

$P\left( { - 5;3} \right),Q\left( {5;3} \right),R\left( {5; - 3} \right),S\left( { - 5; - 3} \right)$

III. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc elip

Chú ý: Vì $- a \le x \le a$ nên $a + \dfrac{c}{a}x > 0$ và $a - \dfrac{c}{a}x > 0$.

Ví dụ:

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left( {x;y} \right)$ trên elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Giải

Ta có: $a = 5;\,b = 3\, \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left( {x;y} \right)$ là:

$M{F_1} = a + \dfrac{c}{a}x = 5 + \dfrac{4}{5}x;\,M{F_2} = a - \dfrac{c}{a}x = 5 - \dfrac{4}{5}x$

IV. Tâm sai của elip

Nhận xét:

Ví dụ: Tìm tọa độ tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$

Giải

Ta có: $a = 5,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\, \Rightarrow 2c = 8$

Vậy elip có 2 tiêu điểm ${F_1}\left( { - 4;0} \right),\,{F_2}\left( {4;0} \right)$, tiêu cự là 8.

Tâm sai của elip là $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5} = 0,8.$

V. Đường chuẩn của elip

Chú ý:

Ví dụ: Tìm đường chuẩn của $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$

Giải

Ta có: $a = 5,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\, \Rightarrow 2c = 8$

Vậy elip có 2 tiêu điểm ${F_1}\left( { - 4;0} \right),\,{F_2}\left( {4;0} \right)$, tiêu cự là 8.

Tâm sai của elip là $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5} = 0,8.$

Đường chuẩn ứng với tiêu điểm ${F_1}\left( { - 4;0} \right)$ là ${\Delta _1}:x = - \dfrac{{25}}{4}$

Đường chuẩn ứng với tiêu điểm ${F_2}\left( {4;0} \right)$ là ${\Delta _1}:x = \dfrac{{25}}{4}$

VI. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

- Mỗi điểm ${M_1}\left( {x;{y_1}} \right)$ trên đường tròn (C) qua “phép co” theo trục tung với hệ số $\dfrac{a}{b}$ thì biến thành điểm $M\left( {x;y} \right)$ trên elip (E).

- Mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ trên elip (E) qua “phép giãn” theo trục tung với hệ số $\dfrac{a}{b}$ thì biến thành điểm ${M_1}\left( {x;{y_1}} \right)$ trên đường tròn (C).

VII. Cách vẽ đường elip

Để vẽ elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right),$ ta có thể làm như sau: