Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

I. Định nghĩa hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

- Phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ thức có dạng:

\[ax + by + cz = d,\]

trong đó \(x,y,z\) gọi là ba ẩn và \(a,b,c,d\) là các số thực cho trước gọi là các hệ số, thoả mãn \(a,b,c\) không đồng thời bằng 0 .

Mỗi bộ ba số \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thoả mãn phương trình trên gọi là một nghiệm của phương trình bậc nhất ba ẩn.

- Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ có dạng:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}}\\{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}}\\{{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}}\end{array}} \right.\]

trong đó \(x,y,z\;\) là ba ẩn, hệ số \({a_i},{b_i},{c_i}(i = 1,2,3)\) không đồng thời bằng 0 .

Mỗi bộ ba số \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thoả mãn đồng thời cả ba phương trình của hệ gọi là một nghiệm của hệ phương trình.

Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ:

Cho hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 5z = - 4}\\{ - x + 3y + 5z = 5}\\{2x + 7y - 3z = 3}\end{array}} \right.\)(*)

- Hệ (*) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

- Bộ số \(({\rm{x}};{\rm{y}};{\rm{z}}) = ( - 2;1;0)\) nghiệm đúng mỗi phương trình của hệ (*) nên được gọi là nghiệm của hệ phương trình đó.

II. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss

Để giải một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta đưa hệ đó về một hệ đơn giản hơn (thường có dạng tam giác), bằng cách sử dụng các phép biến đổi sau đây:

Từ đó có thể giải hệ đã cho. Phương pháp này được gọi là phương pháp Gauss.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 2}\\{7x + 3y + z = 4}\\{ - 5x + 7y - 2z = 5}\end{array}} \right.\]

Giải

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với \(( - 7)\) rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn \(x\) ở phương trình thứ hai)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 2}\\{ - 4y - 6z = - 10}\\{ - 5x + 7y - 2z = 5}\end{array}} \right.\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ này với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn \(x\) ở phương trình cuối)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 2}\\{ - 4y - 6z = - 10}\\{12y + 3z = 15}\end{array}} \right.\]

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ này với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 2}\\{ - 4y - 6z = - 10}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 15z = - 15}\end{array}} \right.\]

Từ phương trình thứ ba ta có \(z = 1\).

Thế vào phương trình thứ hai ta được \(y = 1\).

Cuối cùng ta có \(x = 2 - 1 - 1 = 0\).

Vậy nghiệm của hệ phương trinh là \((x;y;z) = (0;1;1)\).

Nhận xét:

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

III. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Sau khi mở máy, ta lần lượt thực hiện các thao tác sau:

Đối với máy fx 570:

+ Vào chương trình giải phương trình, ấn MODE 5

Màn hình máy tính sẽ hiển thị như sau:

+ Chọn hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ấn 2

Màn hình máy tính sẽ hiển thị như sau:

+ Nhập các hệ số để giải hệ phương trình.

Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{3x - y + z = 2}\\{ - x + 2y + 5z = 6}\\{x + 3y - z = 1.}\end{array}} \right.\)

Giải.

Ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra \(x = \dfrac{{29}}{{60}}\).

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra \(y = \dfrac{8}{{15}}\).

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra \(z = \dfrac{{13}}{{12}}\).

 Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x;y;z) = \left( {\dfrac{{29}}{{60}};\dfrac{8}{{15}};\dfrac{{13}}{{12}}} \right)\).

Đối với máy fx 580:

+ Vào chương trình giải phương trình, ấn MODE   

Màn hình máy tính sẽ hiển thị như sau:

+ Nhập các hệ số để giải hệ phương trình.