Phương trình đường thẳng

I. Phương trình tham số của đường thẳng

Chú ý:

 Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Nhận xét:

Cho \(t\) một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng \(\Delta \) và ngược lại.

Ví dụ:

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {2;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

b) Tìm toạ độ điểm M trên \(\Delta \), biết M có hoành độ bằng –4.

Giải

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 7 + 5t}\end{array}} \right.\)

b) Thay \(x = --4\) vào phương trình \(x = 2--3t\), ta được \(--4 = 2--3t\), suy ra \(t = 2\).

Thay \(t = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 5t\), ta được \(y = 17\).

Vậy \(M = \left( {--4;17} \right).\)

II. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Chú ý:

- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

- Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\left( { - b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Phương trình tổng quát:

Nhận xét

- Đường thẳng A đi qua điểm \(M\left( {x;y} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + {\rm{ }}b\left( {y - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + \left( { - ax - by} \right) = 0\)

- Mỗi phương trình \(ax + {\rm{ }}by + {\rm{ }}c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng \(\Delta \) trên mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3{\rm{ }};2} \right).\)

Giải

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là:

\(3\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)

hay \(3x + 2y - 2 = 0.\)

III. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Đồ thị hàm bậc nhất \(y = kx + {y_0}\) là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (k; - 1)\) và có phương trình tổng quát là \(kx - y + {y_0} = 0\). Đường thẳng này không vuông góc với \(Ox\) và \(Oy\).

Ngược lại, cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) đều khác 0 , khi đó ta có thể viết: \(ax + by + c = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \Leftrightarrow y = kx + {y_0}\).

Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất \(y = kx + {y_0}\) với hệ số góc \(k = - \dfrac{a}{b}\) và tung độ gốc \({y_0} = - \dfrac{c}{b}\)

Chú ý:

- Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) trở thành \(y = - \dfrac{c}{b}\).

Khi đó \(d\) là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm \(\left( {0; - \dfrac{c}{b}} \right)\)

- Nếu \(b = 0\) và \(a \ne 0\) thì phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) trở thành \(x = - \dfrac{c}{a}\).

Khi đó \(d\) là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm \(\left( { - \dfrac{c}{a};0} \right)\)

Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng \(d\) không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

IV. Lập phương trình đường thẳng

Khi lập phương trình đường thẳng, ta thường gặp ba trường hợp như sau:

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ pháp tuyến.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ chỉ phương.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = (a;b)(\vec n \ne \vec 0)\) làm vectơ pháp tuyến là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\vec u = (a;b)\) \((\vec u \ne \vec 0)\) làm vectơ chỉ phương là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).

Nếu \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) ở dạng:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b}{\rm{. }}\)

Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right),B\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0}} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + \left( {{x_1} - {x_0}} \right)t}\\{y = {y_0} + \left( {{y_1} - {y_0}} \right)t}\end{array}} \right.\)( \(t\) là tham số)

Nếu \({x_1} - {x_0} \ne 0\) và \({y_1} - {y_0} \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) ở dạng:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{{{x_1} - {x_0}}} = \dfrac{{y - {y_0}}}{{{y_1} - {y_0}}}\)

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) thoả mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M( - 2; - 3)\) và có \(\vec n = (2;5)\) là vectơ pháp tuyến;

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(3; - 5)\) và có \(\vec u = (2; - 4)\) là vectơ chỉ phương;

c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A( - 3;4)\) và \(B(1; - 1)\).

Giải

a) Phương trình \(\Delta \) là \(2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 19 = 0\).

b) Phương trình \(\Delta \) là \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).

c) Phương trình \(\Delta \) là \(\dfrac{{x + 3}}{{1 - ( - 3)}} = \dfrac{{y - 4}}{{( - 1) - 4}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{4} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0\).