Phương trình đường thẳng

I. Phương trình tham số của đường thẳng

Chú ý:

 Nếu $\overrightarrow u$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì $k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Nhận xét:

Cho $t$ một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta$ và ngược lại.

Ví dụ:

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {2;7} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Tìm toạ độ điểm M trên $\Delta$, biết M có hoành độ bằng –4.

Giải

a) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 7 + 5t}\end{array}} \right.$

b) Thay $x = --4$ vào phương trình $x = 2--3t$, ta được $--4 = 2--3t$, suy ra $t = 2$.

Thay $t = 2$ vào phương trình $y = 7 + 5t$, ta được $y = 17$.

Vậy $M = \left( {--4;17} \right).$

II. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Chú ý:

- Nếu $\overrightarrow u$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ thì $k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

- Hai vectơ $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ và $\left( { - b;a} \right)$ vuông góc với nhau nên nếu $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $\overrightarrow u$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Phương trình tổng quát:

Nhận xét

- Đường thẳng A đi qua điểm $M\left( {x;y} \right)$ và nhận $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$a\left( {x - {x_0}} \right) + {\rm{ }}b\left( {y - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + \left( { - ax - by} \right) = 0$

- Mỗi phương trình $ax + {\rm{ }}by + {\rm{ }}c = 0$ (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng $\Delta$ trên mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$.

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3{\rm{ }};2} \right).$

Giải

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là:

$3\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0$

hay $3x + 2y - 2 = 0.$

III. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Đồ thị hàm bậc nhất $y = kx + {y_0}$ là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec n = (k; - 1)$ và có phương trình tổng quát là $kx - y + {y_0} = 0$. Đường thẳng này không vuông góc với $Ox$ và $Oy$.

Ngược lại, cho đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát $ax + by + c = 0$ với $a$ và $b$ đều khác 0 , khi đó ta có thể viết: $ax + by + c = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \Leftrightarrow y = kx + {y_0}$.

Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất $y = kx + {y_0}$ với hệ số góc $k = - \dfrac{a}{b}$ và tung độ gốc ${y_0} = - \dfrac{c}{b}$

Chú ý:

- Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình tổng quát $ax + by + c = 0$ trở thành $y = - \dfrac{c}{b}$.

Khi đó $d$ là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm $\left( {0; - \dfrac{c}{b}} \right)$

- Nếu $b = 0$ và $a \ne 0$ thì phương trình tổng quát $ax + by + c = 0$ trở thành $x = - \dfrac{c}{a}$.

Khi đó $d$ là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm $\left( { - \dfrac{c}{a};0} \right)$

Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng $d$ không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

IV. Lập phương trình đường thẳng

Khi lập phương trình đường thẳng, ta thường gặp ba trường hợp như sau:

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ pháp tuyến.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ chỉ phương.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\vec n = (a;b)(\vec n \ne \vec 0)$ làm vectơ pháp tuyến là $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$.

Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\vec u = (a;b)$ $(\vec u \ne \vec 0)$ làm vectơ chỉ phương là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số).

Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ ở dạng:

$\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b}{\rm{. }}$

Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right),B\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0}} \right)$ làm vectơ chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + \left( {{x_1} - {x_0}} \right)t}\\{y = {y_0} + \left( {{y_1} - {y_0}} \right)t}\end{array}} \right.$( $t$ là tham số)

Nếu ${x_1} - {x_0} \ne 0$ và ${y_1} - {y_0} \ne 0$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ ở dạng:

$\dfrac{{x - {x_0}}}{{{x_1} - {x_0}}} = \dfrac{{y - {y_0}}}{{{y_1} - {y_0}}}$

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ thoả mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M( - 2; - 3)$ và có $\vec n = (2;5)$ là vectơ pháp tuyến;

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(3; - 5)$ và có $\vec u = (2; - 4)$ là vectơ chỉ phương;

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A( - 3;4)$ và $B(1; - 1)$.

Giải

a) Phương trình $\Delta$ là $2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 19 = 0$.

b) Phương trình $\Delta$ là $\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$.

c) Phương trình $\Delta$ là $\dfrac{{x + 3}}{{1 - ( - 3)}} = \dfrac{{y - 4}}{{( - 1) - 4}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{4} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0$.