I. Định nghĩa tích của một vectơ với một số
Tích của vectơ \(\overrightarrow a \) với số thực \(k \ne 0\) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\) và có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\)
Quy ước: \(0\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) và \(k\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
II. Tính chất của phép nhân vectơ với một số
Với hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) bất kì, với mọi số thực \(k\) và \(m\), ta luôn có:
\(\begin{array}{l}{\rm{i}}){\rm{ }}(k + m)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + m\overrightarrow a {\rm{ }}\\{\rm{ii}}){\rm{ }}k(\overrightarrow a \pm \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a \pm k\overrightarrow b {\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\\{\rm{iii}})\,\,k(m\overrightarrow a ) = (km)\overrightarrow a {\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\\{\rm{iv}})\,\,\,k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\\{\rm{v) 1}}\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\,\,\,( - {\rm{1)}}\overrightarrow a = - \overrightarrow a \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\)
III. Một số ứng dụng tích của một vectơ với một số
1. Trung điểm của đoạn thẳng
Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó:
+) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).
2. Trọng tâm của tam giác
Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:
+) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b(\vec b \ne \vec 0)\) cùng phương là có một số thực \(k\) để \(\vec a = k\vec b\).
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng là có số thực \(k\) để \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .\)
Chú ý: Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) không cùng phương. Với mọi vectơ \(\vec c\) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\vec c = m\vec a + n\vec b\).
4. Phương pháp phân tích một véc tơ qua hai véc tơ không cùng phương:
Sử dụng các quy tắc ba điểm (xen thêm điểm vào giữa để làm xuất hiện các véc tơ không cùng phương đề bài yêu cầu), các tính chất trung điểm, trọng tâm, tích của một véc tơ với một số để biến đổi làm sao cho xuất hiện.
Chú ý: Cho đoạn thẳng \(AB\), một điểm \(I \in AB\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \) thì với điểm \(M\) bất kì ta luôn có:
\(\overrightarrow {MI} = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA} + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \)
