I. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:
- Phương án 1: có \(m\) cách thực hiện
- Phương án 2: có \(n\) cách thực hiện (không trùng với các cách của phương án 1)
Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: \(m + n\) cách.
Chú ý. Ta áp dụng quy tắc cộng cho một công việc có nhiều phương án khi các phương án đó phải rời nhau, không phụ thuộc vào nhau (độc lập với nhau).
Tổng quát:
Có \(k\) phương án \({A_1},{A_2},{A_3},...,{A_k}\) để thực hiện công việc. Trong đó:
- Có \({n_1}\) cách thực hiện phương án \({A_1}\),
- Có \({n_2}\) cách thực hiện phương án \({A_2}\)
…
- Có \({n_k}\) cách thực hiện phương án \({A_k}\).
Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: \({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách.
Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của \(A \cup B\) bằng tổng số phần tử của \(A\) và của \(B\), tức là: \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right|\).
Ví dụ: Đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có \(10\) chuyến ô tô, \(2\) chuyến tàu hỏa và \(1\) chuyến máy bay có thể vào được TP. Hồ Chí Minh. Số cách có thể đi để vào TP. Hồ Chí Minh từ Hà Nội là:
Hướng dẫn:
Có \(3\) phương án đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay.
- Có \(10\) cách đi bằng ô tô (vì có \(10\) chuyến).
- Có \(2\) cách đi bằng tàu hỏa (vì có \(2\) chuyến).
- Có \(1\) cách đi bằng máy bay (vì có \(1\) chuyến).
Vậy có tất cả \(10 + 2 + 1 = 13\) cách đi từ HN và TP.HCM.
II. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau:
– Công đoạn một có \(m\) cách thực hiện,
– Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có \(n\) cách thực hiện công đoạn hai.
Khi đó số cách thực hiện công việc là: \(m.n\) cách.
Chú ý:
Quy tắc nhân áp dụng để tính số cách thực hiện một công việc có nhiều công đoạn, các công đoạn nối tiếp nhau và những công đoạn này độc lập với nhau.
Tổng quát:
Có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) để thực hiện công việc.
- Có \({n_1}\) cách thực hiện công đoạn \({A_1}\).
- Có \({n_2}\) cách thực hiện công đoạn \({A_2}\).
…
- Có \({n_k}\) cách thực hiện công đoạn \({A_k}\).
Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách.
Ví dụ: Mai muốn đặt mật khẩu nhà có \(4\) chữ số. Chữ số đầu tiên là một trong \(3\) chữ số \(1;2;0\), chữ số thứ hai là một trong \(3\) chữ số \(6;4;3\), chữ số thứ ba là một trong \(4\) chữ số \(9;1;4;6\) và chữ số thứ tư là một trong \(4\) chữ số \(8;6;5;4\). Có bao nhiêu cách để Mai đặt mật khẩu nhà?
Hướng dẫn:
Việc đặt mật khẩu nhà có \(4\) công đoạn (từ chữ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng).
- Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 1 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số đầu tiên).
- Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 2 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số thứ hai).
- Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 3 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ ba).
- Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 4 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ tư).
Vậy có tất cả \(3.3.4.4 = 144\) cách để Mai đặt mật khẩu nhà.
III. Sơ đồ hình cây
- Sơ đồ hình cây là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung.
- Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp.
Ví dụ: Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu lần lượt là xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi cũng khác màu lần lượt là hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn:
a) 1 chiếc quần;
b) 1 chiếc áo sơ mi;
c) 1 bộ quần áo.
Giải
Các sơ đồ hình cây \({T_1},{T_2},{T_1}{T_2}\) trong sau lần lượt:
a) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc quần;
b) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc áo sơ mi;
c) Biểu thị số cách chọn 1 bộ quần áo.
IV. Vận dụng trong bài toán đếm
- Việc kiểm đếm có ý nghĩa quan trọng trong toán học và thực tiễn, đặc biệt trong thống kê và xác suất.
- Kết quả đếm cho phép chúng ta xác định được số các khả năng mà một sự kiện có thể xảy ra để làm cơ sở cho việc đưa ra quyết định.
- Quy tắc cộng, quy tắc nhân và sơ đồ hình cây là những nguyên tắc cơ bản trong các bài toán đếm.
Ví dụ: Cho 10 điểm phân biệt. Hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác 0? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vectơ là hai trong 10 điểm đã cho.
Giải
Việc lập vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.
Chọn điểm đầu: có 10 cách chọn. Chọn điểm cuối: có 9 cách chọn.
Vậy có 10 . 9 = 90 (vectơ).
Ví dụ: Từ ba mảng dữ liệu A, B, C, máy tính tạo nên một thông tin đưa ra màn hình cho người dùng bằng cách lần lượt lấy một dữ liệu từ A, một dữ liệu từ B và một dữ liệu từ C. Giả sử A, B, C lần lượt chứa m, n, p dữ liệu. Hỏi máy tính có thể tạo ra được bao nhiều thông tin?
Giải
Việc máy tính tạo ra thông tin là thực hiện ba cách chọn liên tiếp: chọn dữ liệu từ A, chọn dữ liệu từ B và chọn dữ liệu từ C.
Có \(m\) cách chọn một dữ liệu từ A.
Có \(n\) cách chọn một dữ liệu từ B.
Có \(p\) cách chọn một dữ liệu từ C.
Vậy số thông tin máy tính có thể tạo được là: \(m.n.p\)
