I. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ví dụ:
Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y > 2}\\{3x - 2y \le 10}\end{array}} \right.\)
Cặp số \(\left( {3;0} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên vì:
Thay \(x = 3;\,\,y = 0\) vào hai bất phương trình của hệ, ta có:
\(3 - 0 > 2\) là mệnh đề đúng; \(3.3 - 2.0 < 10\) là mệnh đề đúng.
Vậy \(\left( {3;0} \right)\) là nghiệm chung của hai bất phương trình của hệ nên \(\left( {3;0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình.
II. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Miền nghiệm
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
2. Cách xác định miền nghiệm
Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
- Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
- Bước 2: Tìm miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
III. Áp dụng vào bài toán thực tiễn
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(T\left( {x,y} \right) = ax + by\) với \(\left( {x;y} \right)\) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
- Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm \(S\) là đa giác.
- Bước 2: Tính giá trị của \(T\) tương ứng với \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
- Bước 3: Kết luận:
\( \bullet \) Giá trị lớn nhất của \(T\) là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
\( \bullet \) Giá trị nhỏ nhất của \(T\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
