I. Công thức nhị thức Newton
\({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}\)
\( = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\)
\( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) \({(a + b)^n}\) ứng với \(n = 4\) và \(n = 5\).
Chú ý:
Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) với \(n = 0;1;2;3;...\) được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như sau:
Bảng số trên được gọi là tam giác Pascal
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển biểu thức:
- a) \({(x + 3)^4}\)
- b) \({(1 - x)^5}\)
Giải
a)
Theo công thức nhị thức Newton, ta có
\({(x + 3)^4} = 1.{x^4} + 4.{x^3}.3 + 6.{x^2}{.3^2} + 4.x{.3^3} + {1.3^4}\)
\( = {x^4} + 4.3.{x^3} + 6.9.{x^2} + 4.27.x + 81\)
\( = {x^4} + 12{x^3} + 54{x^2} + 108x + 81\)
b)
Theo công thức nhị thức Newton, ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {1 - x} \right)}^5} = 1 + 5.\left( { - x} \right) + 10.{{\left( { - x} \right)}^2} + 10.{{\left( { - x} \right)}^3} + 5.{{\left( { - x} \right)}^2} + 1.{{\left( { - x} \right)}^5}}\\{ = 1 - 5x + 10{x^2} - 10{x^3} + 5{x^4} - {x^5}.}\end{array}\]
Ví dụ 3
Khai triển và rút gọn biểu thức: \({(1 + \sqrt 2 )^5} + {(1 - \sqrt 2 )^5}\).
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
\({(1 + \sqrt 2 )^5} = 1 + 5.\sqrt 2 + 10.{(\sqrt 2 )^2} + 10.{(\sqrt 2 )^3} + 5.{(\sqrt 2 )^4} + 1.{(\sqrt 2 )^5}\)
\({(1 - \sqrt 2 )^5} = 1 + 5.( - \sqrt 2 ) + 10.{( - \sqrt 2 )^2} + 10.{( - \sqrt 2 )^3} + 5.{( - \sqrt 2 )^4} + 1.{( - \sqrt 2 )^5}\)
Từ đó:
\({(1 + \sqrt 2 )^5} + {(1 - \sqrt 2 )^5} = 2\left[ {1 + 10 \cdot {{(\sqrt 2 )}^2} + 5 \cdot {{(\sqrt 2 )}^4}} \right] = 2(1 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 4) = 82.\)
