I. Phương trình đường tròn
- Phương trình chính tắc của đường tròn $\left( C \right)$ tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính $R$ là:\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)
- Dạng khai triển của $\left( C \right)$ là: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0{\rm{ }}$với $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}$
- Phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0{\rm{ }}$ với điều kiện ${a^2} + {b^2} - c > 0$, là phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)
- Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\):
+ thuộc đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\).
+ nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM > R\).
+ nằm trong đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow IM < R\).
Ví dụ: Lập phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - {\rm{ }}1;3} \right)\) bán kính 7.
Giải
Phương trình đường tròn tâm I(− 1 ; 3) bán kính 7 là
\({\left[ {x - \left( { - 1} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {7^2}{\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 49.\)
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Đường thẳng \({M_0}t\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} - a;{y_0} - b} \right).\)\(\)
Phương trình tiếp tuyến \({M_0}t\) là:
\(\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0.{\rm{ }}\)
Ví dụ: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}(2;1)\) thuộc đường tròn
\({(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = 5.\)
Giải
Đường tròn có tâm \(I(1;3)\).
Phương trình tiếp tuyến tại tại điểm \({M_0}( - 1; - 4)\) thuộc đường tròn \({(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = 5\) là:
\((2 - 1)(x - 2) + (1 - 3)(y - 1) = 0\)
\( \Leftrightarrow 1(x - 2) - 2(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y = 0\)
