I. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) khác \(\vec 0\)
- Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) là góc giữa hai tia $O A, O B$ và được kí hiệu là \((\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )\).
- Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) là một số, kí hiệu \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \), được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = |\overrightarrow {OA} | \cdot |\overrightarrow {OB} | \cdot \cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )\).
- Góc giữa hai vectơ \(\vec a,\vec b\), kí hiệu \((\vec a,\vec b)\), là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \).
- Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), kí hiệu \(\vec a \cdot \vec b\), là tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \). Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số thực được xác định bởi công thức:
\(\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).
Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ \(\vec 0\) là số 0 .
Chú ý
- \((\vec a,\vec b) = (\vec b,\vec a)\).
- Nếu \((\vec a,\vec b) = {90^\circ }\) thì ta nói hai vectơ \(\vec a,\vec b\) vuông góc với nhau, kí hiệu \(\vec a \bot \vec b\) hoặc \(\vec b \bot \vec a\). Khi đó \(\vec a \cdot \vec b = |\vec a|.|\vec b|.\cos {90^\circ } = 0\).
- Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.
- Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.
II. Tính chất tích vô hướng của hai vectơ
Với ba véc tơ bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và mọi số thực k ta luôn có:
\(\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Chú ý:
+ Nếu hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\) gọi là bình phương vô hướng của véc tơ \(\overrightarrow a \).
+ \({(\overrightarrow a \pm \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} \pm 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2},\,{\rm{ }}(\overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\)
III. Một số ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ
1. Tính độ dài của đoạn thẳng
Với hai điểm $A, B$ phân biệt, ta có: \({\overrightarrow {AB} ^2} = |\overrightarrow {AB} {|^2}\).
Do đó độ dài đoạn thẳng $A B$ được tính như sau: \(AB = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}} \).
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\).
- Cũng như vậy, hai đường đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc khi và chỉ khi \(\vec u \cdot \vec v = 0\), trong đó \(\vec u \ne \vec 0,\vec v \ne \vec 0\), giá của vectơ \(\vec u\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(a\) và giá của vectơ \(\vec v\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\).
