Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Đổi: 80 giờ = 4800 phút, 160 giờ = 9600 phút, 48 giờ = 2880 phút.

Nhà máy hoạt động hết công suất nghĩa là sử dụng được hết thời gian lao động tối đa.

Gọi số lượng áo thun, áo sơ mi, áo khoác cần sản xuất để nhà máy hoạt động hết công suất lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương).

Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x + 12y + 15z = 4800}\\{22x + 24y + 28z = 9600}\\{6x + 8y + 8z = 2880}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 80, y = 140, z = 160.

Giá trị biểu thức: \(D = 80 - 3.140 + 2.160 = - 20\).

Thị trường cân bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{Q_{{S_A}}} = {Q_{{D_A}}}}\\{{Q_{{S_B}}} = {Q_{{D_B}}}}\\{{Q_{{S_C}}} = {Q_{{D_C}}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 60 + 4x - 2z = 137 - 3x + y}\\{ - 30 - x + 5y - z = 131 + x - 4y + z}\\{ - 30 - 2x + 3z = 157 + y - 2z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x - y - 2z = 197}\\{2x - 9y + 2z = - 161}\\{2x + y - 5z = - 187}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 54}\\{y = 45}\\{z = 68}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy giá của mỗi sản phẩm A, B, C lần lượt là 54, 45 và 68 triệu đồng.

Gọi số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là x, y, z.(\(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))

Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).

- Số bạn ở nhóm A sau khi chuyển là: \(x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z\)

- Số bạn ở nhóm B sau khi chuyển là: \(y - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z\)

Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z = x}\\{y - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z = y}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - z = 0}\\{2x - 3y + 2z = 0}\end{array}} \right.(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{x - z = 0}\\{2x - 3y + 2z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 30, y = 40, z = 30.

Ban tổ chức đã chia nhóm A 30 bạn.

Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là x, y, z (x, y, z là số nguyên dương).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: 

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{5x + 3y + \dfrac{1}{3}z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 100 - z}\\{15x + 9y = 300 - z}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{ - 300 + 4z}}{3}}\\{y = \dfrac{{600 - 7z}}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{4z}}{3} - 100}\\{y = 200 - \dfrac{{7z}}{3}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vì \(x > 0\) nên \(\dfrac{{4z}}{3} - 100 > 0 \Rightarrow z > 75\)

   \(y > 0\) nên \(200 - \dfrac{{7z}}{3} > 0 \Rightarrow z < 85\).

Mà \(z\) là số nguyên dương nên \(z \in \left\{ {76;77;...;84} \right\}\).

Lại có \(x\) là số nguyên dương nên \(\dfrac{{4z}}{3} - 100\) là số nguyên, suy ra \(z \vdots 3\)

\( \Rightarrow \left\{ {78;81;84} \right\}\).

+) Với z = 78 thì x = 4, y = 18.

+) Với z = 81 thì x = 8, y = 11.

+) Với z = 84 thì x = 12, y = 4.

Vậy có ba trường hợp thỏa mãn đề bài:

-Số trâu đứng là 4 con, trâu nằm là 18 con và trâu già là 78 con.

-Số trâu đứng là 8 con, trâu nằm là 11 con và trâu già là 81 con.

-Số trâu đứng là 12 con, trâu nằm là 4 con và trâu già là 84 con.

Giả sử đường tròn cần viết có phương trình \({x^2} + {y^2}-2ax-2by + c = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2}-c > 0} \right).\)

Vì đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1) nên ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{0^2} + {1^2} - 2a.0 - 2b.1 + c = 0}\\{{2^2} + {3^2} - 2a.2 - 2b.3 + c = 0}\\{{4^2} + {1^2} - 2a.4 - 2b.1 + c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2b - c = 1}\\{4a + 6b - c = 13}\\{8a + 2b - c = 17}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được a = 2, b = 1, c = 1 (thoả mãn điều kiện).

Vậy đường tròn cần viết có phương trình \({x^2} + {y^2}-4x-2y + 1 = 0.\)

Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) (x, y, z ∈ ℕ^*).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \dfrac{y}{5} + 5z = 60}\\{x + y + z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{x + y + z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{14y + 10z = - 1200}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{ - 7y + 5z = - 600}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + \dfrac{{5z + 600}}{7} + 25z = 300}\\{y = \dfrac{{5z + 600}}{7}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{100 - 12z}}{7}}\\{y = \dfrac{{5z + 600}}{7}}\end{array}\,\,\,\left( * \right)} \right.} \right.\end{array}\)

Vì $x > 0$ nên $100 – 12z > 0$ \( \Rightarrow z{\rm{ }} < \dfrac{{100}}{{12}} < 9 \Rightarrow z \in \left\{ {1;2;..;8} \right\}.\)

Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của (*) ta thấy chỉ có $z = 6$ thoả mãn (vì y ∈ ℕ^*).

=> z = 6, suy ra y = 90, x = 4.

Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.

Gọi diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là x, y, z (ha)\(\left( {x;y;z > 0} \right)\)

Theo đề bài, ta có:

- Có tổng cộng 12 ha đất canh tác, suy ra x + y + z =12 (1).

- Diện tích trồng khoai tây gấp đôi diện tích trồng ngô, suy ra

$y = 2x$ hay $2x – y = 0$ (2).

- Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng, suy ra

$4x+3y+4,5z=45,25 (3).$

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 12}\\{2x - y = 0}\\{4x + 3y + 4,5z = 45,25}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được $x=2,5; y=5; z=4,5$.

Vậy diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là 2,5 ha; 5 ha và 4,5 ha.