Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác
Sách cánh diều
Cho tam giác $ABC$ và các mệnh đề
\((I){\rm{ }}\cos \dfrac{{B + C}}{2} = \sin \dfrac{A}{2}\)
\((II){\rm{ }}\tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1\)
\((III){\rm{ }}\cos (A + B - C) = \cos 2C\)
Mệnh đề nào đúng?
\(\hat A + \hat B + \hat C \) \(= {180^0} \Rightarrow \cos \dfrac{{B + C}}{2} \) \(= \cos \left( {{{90}^0} - \dfrac{A}{2}} \right)\) \( = \sin \dfrac{A}{2}\)
(I) đúng
\((II){\rm{ }}\tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2}\) \( = \tan ({90^0} - \dfrac{C}{2}).\tan \dfrac{C}{2}\) \( = \cot \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1\)
(II) đúng
\((III){\rm{ }}\cos (A + B - C) = \cos \left( {{{180}^0} - 2C} \right) = - \cos 2C\)
(III) sai
Kết quả đơn giản của biểu thức \({\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + 1}}}}} \right)^2} + 1\) bằng:
${\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1 $$= {\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1$
$= {\left[ {\left( {\sin \alpha + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right):\left( {\cos \alpha + 1} \right)} \right]^2} + 1$
$= {\left[ {\sin \alpha \left( {1 + \dfrac{1}{{\cos \alpha }}} \right).\dfrac{1}{{\cos \alpha + 1}}} \right]^2} $$+ 1$
$= {\left[ {\sin \alpha .\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\cos \alpha }}.\dfrac{1}{{\cos \alpha + 1}}} \right]^2} $$+ 1$
$= {\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} + 1 = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} $$+ 1$
$= \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
= \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$
Nếu tam giác $ABC$ có \({a^2} < {b^2} + {c^2}\) thì
Ta có \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Theo giả thiết \({a^2} < {b^2} + {c^2} \Rightarrow \cos A > 0\).
Vậy góc $A$ nhọn.
Cho $A = \cos {235^0}.\sin {60^0}.\tan {125^0}.\cos {90^0}{\rm{ }}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì $\cos {90^0} = 0$ nên $A = \cos {235^0}.\sin {60^0}.\tan {125^0}.\cos {90^0} = 0$.
Biểu thức $P = {\cos ^2}x.{\cot ^2}x{\rm{ }} + 3{\cos ^2}x - {\cot ^2}x + 2{\sin ^2}x$ có giá trị là
$\begin{array}{l}P = {\cos ^2}x.{\cot ^2}x{\rm{ }} + 3{\cos ^2}x - {\cot ^2}x + 2{\sin ^2}x\\{\rm{ }} = {\cot ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right) + {\cos ^2}x + 2\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\{\rm{ }} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}.( - {\sin ^2}x) + {\cos ^2}x + 2\\{\rm{ }} = - {\cos ^2}x + {\cos ^2}x + 2 = 2\end{array}$
Ta có \(\Delta ABC \Rightarrow A + B + C = {180^o}\) (định lý tổng 3 góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - A - B} \right) = \sin C\)
Vậy C đúng.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4cm,BC = 7cm,CA = 9cm$. Giá trị $\cos A$ là:
Ta có \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{9^2} + {4^2} - {7^2}}}{{2.9.4}} = \dfrac{2}{3}\)
Giá trị lớn nhất của $6{\cos ^2}x + 6\sin x-2$ là:
Ta có:
$6{\cos ^2}x + 6{\sin }x - 2$ $= 6(1 - {\sin ^2}x) + 6\sin x - 2$ $= - 6{\sin ^2}x + 6\sin x + 4$ $= - 6({\sin ^2}x - \sin x) + 4$ $= - 6{\left( {\sin x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{2} \le \dfrac{{11}}{2}$
Dấu $“=”$ xảy ra khi \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
Cho góc \(\widehat {xOy} = 30^\circ \). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB = 1\). Độ dài lớn nhất của đoạn \(OB\) bằng:
Bước 1: Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác \(OAB\) tìm OB
Theo định lí hàm sin, ta có:
\(\dfrac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}} = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}\)\( \Leftrightarrow OB = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}.\sin \widehat {OAB}\) \( = \dfrac{1}{{\sin 30^\circ }}.\sin \widehat {OAB} = 2\sin \widehat {OAB}\)
Bước 2: Đánh giá GTLN của \(OB\).
Do đó, độ dài \(OB\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin \widehat {OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ \).
Khi đó \(OB = 2\).
