Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng

Ta thấy $24\, \vdots\, 4$ và $199$ không chia hết cho $4$ nên để $A = 24 + 199 + x$ chia hết cho $4$ thì $\left( {199 + x} \right)$ chia hết cho $4.$

Mà $199$ chia $4$ dư $3$ nên để $\left( {199 + x} \right)$ chia hết cho $4$ thì $x$ chia $4$ dư $1.$

Vì $2n\, \vdots \,n$ nên để $\left( {2n + 5} \right) \vdots\, n$ thì $5 \,\vdots\, n$ suy ra $n \in \left\{ {1;5} \right\}$

Vậy có hai giá trị của $n$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ta có: $A = \left( {24 + 15} \right) + 52 + x$. Vì $24 + 15 = 39\, \vdots \,13$ và $52\, \vdots \,13 \Rightarrow \left( {24 + 15 + 52} \right) = \left( {39 + 52} \right) \vdots \,13$ nên để A không chia hết cho $13$ thì $x$ không chia hết cho $13.$

Xét $11.\left( {a + 6.b} \right) = 11.a + 66.b$$= \left( {11.a + 2b} \right) + 64.b$

Vì $\left( {11.a + 2b} \right) \vdots \,8$ và $64b\, \vdots \,8$ nên $11.\left( {a + 6.b} \right) \vdots \,8$.

Do 11 không chia hết cho 8 nên suy ra $\left( {a + 6.b} \right) \vdots \,8$.

Vậy nếu $11a + 2b$ chia hết cho 8 thì $a + 6b$ chia hết cho 8.

Vì $\left( {n + 5} \right) \vdots \left( {n + 5} \right)$ nên theo tính chất 1 để $\left( {n + 9} \right) \vdots \left( {n + 5} \right)$ thì $\left[ {\left( {n + 9} \right) - \left( {n + 5} \right)} \right] \vdots \left( {n + 5} \right)$ hay $4 \,\vdots \left( {n + 5} \right)$.

Suy ra $\left( {n + 5} \right) \in \left\{ {1;2;4} \right\}$.

Vì $n + 5 \ge 5$ nên không có giá trị của $n$ thỏa mãn.

Ta có: $M = {10^{2k}} - 1 = {10^{2k}} - {10^k} + {10^k} - 1$

$= {10^k}\left( {{{10}^k} - 1} \right) + \left( {{{10}^k} - 1} \right)$

$= \left( {{{10}^k} + 1} \right).\left( {{{10}^k} - 1} \right)$chia hết cho $19$

Vậy $M\, \vdots\, 19.$

1698=2.849

1698=3.566

1698=6.283

1698 chia cho 5 được 339 và dư 3

Vậy 1698 không chia hết cho 5.

555215=5.11143

Vậy $555215 \vdots 5$

Theo tính chất 1: Nếu $a$ chia hết cho $3$ và $b$ chia hết cho $3$ thì tổng $a + b$ chia hết cho $3.$

Ta có: $11 \vdots 11;\,55 \vdots 11 \Rightarrow \left( {11 + 55} \right) \vdots 11$ (theo tính chất 1)

Ta có: $x\,\vdots \,3;\,y\, \vdots \,6 \Rightarrow y\, \vdots \,3 \Rightarrow \left( {x + y} \right)\, \vdots \,3$ (tính chất 1)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x \,\vdots\, 15 \Rightarrow x \,\vdots\, 5\\y \,\vdots\, 20 \Rightarrow y \,\vdots\, 5\end{array} \right.$. Vì $x\, \vdots \,5;y \,\vdots\, 5 \Rightarrow \left( {x - y} \right) \vdots \,5$.

+) Vì $33\, \vdots \,7;\,87\, \vdots \,7;\,42\, \vdots \,7 \Rightarrow \left( {33 + 87 + 42} \right) \vdots \,3$ (theo tính chất 1) nên A đúng

+) Vì $24 \,\vdots\, 8;56\, \vdots \,8;128 \,\vdots \,8$ nên $24 + 56 + 128$ chia hết cho 8 nên B sai

+) Vì $46 \,\vdots \,23;184\, \vdots\, 23 \Rightarrow \left( {46 + 184} \right) \vdots\, 23$ nên C đúng.

+) Vì $30\, \vdots \,15;95$ không chia hết cho 15 nên $\left( {30 + 95} \right)$ không chia hết cho 15. Do đó D đúng.

A sai vì thiếu điều kiện $a \ge b$

B sai vì thiếu điều kiện $b \ge c$

D sai vì thiếu điều kiện $c \ge b$

$\begin{array}{l}\left( {a + b - c} \right) = \left( {a - c + b} \right) = \left( {a - c} \right) + b\\\left( {a - c} \right) \vdots m,b \vdots m \Rightarrow \left( {a - c} \right) + b \vdots m\\ \Rightarrow \left( {a + b - c} \right) \vdots m\end{array}$

Vậy C đúng.

Ta có:

$a = 2m \Rightarrow a \vdots m$. A đúng

$b = 2n + 1\not  \vdots 2$ vì $2n \vdots 2,1\not  \vdots 2$

$a + b + c = 2m + 2n + 1 + 2p - 1$$= 2m + 2n + 2p = 2.\left( {m + n + p} \right) \vdots 2$

=> Đáp án A, B, C đúng D sai.

Vì $14 \,\vdots\, 7;\,84 \,\vdots \,7$ nên để $M = 14 + 84 + x$ chia hết cho $7$ thì $x \,\vdots\, 7$ nên ta chọn $x = 21.$

Ta có $10 \vdots 5,45 \vdots 5,55 \vdots 5$ nên để tổng $A \vdots 5$ thì $x \vdots 5$.

176+152 có 176 và 152 đều chia hết cho 4 nên tổng chia hết cho 4. Loại A.

205464+152 cũng đều chia hết cho 4 vì mỗi số hạng chia hết cho 4. Loại C

45665+203 chia hết cho 4 vì 45665+203 =45868 chia hết cho 4. Loại D

2020+455 có 2020 chia hết cho 4 nhưng 455 không chia hết cho 4 nên tổng 2020+455 không chia hết cho 4.

Theo tính chất  2:  nếu $a$  không chia hết cho $2$và $b$ chia hết cho $2$ thì $a + b$ không chia hết cho $2.$

Ta có: $49 \vdots 7;\,\,\,70 \vdots 7 \Rightarrow \left( {49 + 70} \right) \vdots 7$ (theo tính chất 1)