Tìm kiếm
Lớp 12 Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán... Tứ diện đều chi tiết, đầy đủ 2...

Tứ diện đều chi tiết, đầy đủ 2023

73 lượt xem
Bài trước
Bài sau  

1. Tứ diện

  • Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được kí hiệu A, B, C, D. Bất kì điểm nào trong số các điểm trên được gọi là đỉnh, mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.
  • Ví dụ: Chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy.

2. Tứ diện đều

  • Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.
  • Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều.
  • Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

3. Tính chất tứ diện đều

- Tứ diện đều có các tính chất như sau:

+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
+ Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.

+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
+ Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
+ Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
+ Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
+ Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.
+ Một tứ diện có ba trục đối xứng.
+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

4. Cách vẽ tứ diện đều

Bước 1: Đầu tiên các bạn hãy xem hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều ABCD.
Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy ví dụ là mặt BCD.
Bước 3: Tiếp theo các bạn tiến hành vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung tuyến này là BM.
Bước 4: Sau đó các bạn tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD này
Bước 5: Tiến hành dựng đường cao.
Bước 6: Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.

5. Thể tích tứ diện đều

- Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:

+ Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: V=\dfrac{1}{3}.S_{BCD}.AH
+ Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: V=\dfrac{1}{3}.B.h

6. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra

  • Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là h = AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}
  • Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}

7. Một số bài tập ứng dụng

Ví dụ 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:

a) cạnh AB = 4 cm

b) cạnh CD = 6 cm

c) cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a:   V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}

a) Vì ABCD là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên  a= 4 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 7,54 cm3

b) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên a= 6 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 25,46 cm3

c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên a = 3 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 3,18 cm3

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.

Hướng dẫn giải:

Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA.

Từ đó suy ra, BD vuông góc với (SAC) => (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.

Ví dụ 3: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải: 

Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.

Ví dụ 4: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng:

A. \frac{a^3}{3} B.\frac{a^3\sqrt{6} }{12}
C.\frac{a^3\sqrt{2} }{12} D.\frac{a^3\sqrt{3} }{12}

Ví dụ 5: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

A. 4 mặt phẳng B. 6 mặt phẳng
C. 8 mặt phẳng D. 10 mặt phẳng

Ví dụ 6: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành:

A. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

B. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

C. Các đỉnh của một hình bát diện đều.

D. Các đỉnh của một hình tứ diện.

Ví dụ 7: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{4} B.V=\frac{\sqrt{13}a^3 }{12}
C.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{12} D.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{6}

Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên bằng \frac{a\sqrt{21} }{6}. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{6} B.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{8}
C.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{12} D.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{24}

Ví dụ 9: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. tính thể tích của khối chóp A.GBC.

A.V=4 B.V=5
C.V=3 D.V=6

Ví dụ 10: Cho tứ diện đều ABCD có canh 2a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

A.V=\frac{1}{3}a^3 B.V=\frac{\sqrt{2}a^3 }{3}
A.V=\frac{2\sqrt{2}a^3 }{3} A.V=\frac{2a^3 }{3}

Ví dụ 11:  Cho tứ diện đều ABCD có canh \sqrt{2} a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

A.V=\frac{2a^3}{3} B.\frac{\sqrt{2}a^3}{3}
C.V=\frac{a^3}{3}

D.V=\frac{4a^3}{3}

 

Ví dụ 12: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 1. Tìm độ dài các cạnh của tứ diện

A. 2\sqrt{3}

B. 3\sqrt{2}

C. 6\sqrt{2}

D. \sqrt[3]{6\sqrt{2}}

Ví dụ 13: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa AB và CD?

Ví dụ 14: Cho ABCD là tứ diện đều, cạnh a. Kéo dài BC 1 đoạn CE = a. Kéo dài BD 1 đoạn DF = a. M là trung điểm của AB.

a. Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF).

b. Tính diện tích của thiết diện theo a.

 

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước
Bài sau