Giải Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Phép chia số phức chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phép chia số phức lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Phép chia số phức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 136 SGK Giải tích 12: Cho z=2+3i. Hãy tính z+z¯ và z.z¯. Nêu nhận xét.

Phương pháp giải:

Tính z¯ rồi thực hiện các phép tính cộng, nhân số phức.

Lời giải:

Ta có: z=2+3iz¯=23i.

Khi đó z+z¯=(2+3i)+(23i) =2+3i+23i=4

z.z¯=(2+3i)(23i) =22(3i)2=4+9=13.

Nhận xét:

Tổng của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

Tích của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

Trả lời câu hỏi 2 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép chia sau:

1+i23i;6+3i5i

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Lời giải:

1+i23i=(1+i)(2+3i)(23i)(2+3i)=2+2i+3i+3i2229i2=2+5i313=113+5i136+3i5i=(6+3i)(5i)5i(5i)=30i15i225i2=30i+1525=6i+35

Câu hỏi và bài tập (trang 138 Giải tích 12)
Bài 1 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép chia sau:

a) 2+i32i

b) 1+i22+i3;

c) 5i23i

d) 52ii

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Chú ý: i2=1.

Lời giải:

a)

2+i32i=(2+i)(3+2i)(32i)(3+2i) =6+7i+2i29+4=413+713i.

b)

1+i22+i3=(1+i2)(2i3)(2+i3)(2i3)

=2+(223)i6i24+3 =2+67+2237i.

c)

5i23i=5i(2+3i)(23i)(2+3i) =10i+15i24+9=1513+1013i.

d)

52ii=(52i)ii2 =(5i2i2)=25i.

Bài 2 trang 138 SGK Giải tích 12: Tìm nghịch đảo 1z của số phức z, biết:

a) z=1+2i

b) z=23i;

c) z=i;  

d) z=5+i3.

Phương pháp giải:

Cho số phức z=a+bi,(a,bR). Khi đó nghịch đảo của số phức z là:

1z=1a+bi=abi(a+bi)(abi) =abia2+b2.

c) Nhân cả tử và mẫu với i và sử dụng định nghĩa i2=1

Lời giải:

a)

11+2i=12i12+22 =12i5=1525i.

b)

123i=2+3i(2)2+(3)2 =2+3i11 =211+311i 

c)

1i=ii2=i1=i

d)

15+i3=5i352+(3)2 =5i328 =528328i
Bài 3 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) 2i(3+i)(2+4i);   

b) (1+i)2(2i)32+i

c) 3+2i+(6+i)(5+i);

d) 43i+5+4i3+6i

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhân và chia các số phức để làm bài toán.

Một số công thức cơ bản:

+)i2=1.+)i3=i.+)(1+i)2=1+2i+i2=2i.

Lời giải:

a)

2i(3+i)(2+4i)=2i(6+14i+4i2)=2i(2+14i)=4i+28i2=28+4i.

b)

=(1+2i+i2).8i32+i =2i.8i32+i =16i42+i =162+i =16(2i)(2+i)(2i) =3216i5 =325165i

c)

3+2i+(6+i)(5+i)=3+2i+30+11i+i2=3+2i+29+11i=32+13i.

d)

43i+5+4i3+6i=43i+(5+4i)(36i)32+62=43i+1518i24i245=43i+39451845i=(4+3945)(3+1845)i=7315175i.

Bài 4 trang 138 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau:

a) (32i)z+(4+5i)=7+3i;

b) (1+3i)z(2+5i)=(2+i)z;

c) z43i+(23i)=52i.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

+) Sử dụng công thức chia hai số phức.

Lời giải:

a)

Ta có (32i)z+(4+5i)=7+3i(32i)z=7+3i45i

(32i)z=32iz=32i32iz=1.

Vậy z=1.

b)

Ta có(1+3i)z(2+5i)=(2+i)z(1+3i)z(2+i)z=(2+5i)

(1+3i2i)z=2+5i(1+2i)z=2+5i

z=2+5i1+2iz=(2+5i)(12i)12+22z=24i5i10i25z=89i5=8595i

Vậy z=8595i.

c)

z43i+23i=52iz43i=52i2+3iz43i=3+iz=(3+i)(43i)z=125i3i2z=155i.

Vậy z=155i.

Lý thuyết Bài 3: Phép chia số phức

Kiến thức cơ bản

Cho hai số phức c+di và a+bi0.

Khi đó c+dia+bi=(c+di)(abi)a2+b2=ac+bda2+b2+adbca2+b2i

(Nhân cả tử và mẫu với abi (số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý: Với z0 ta có:

- Số phức nghịch đảo của z là: z1=1z=z¯|z|2.

- Thương của z chia cho z là:

zz=zz1 =zz¯|z|2=zz¯zz¯

Sơ đồ tư duy về số phức