Giải Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

79 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Phép chia số phức chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phép chia số phức lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Phép chia số phức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 136 SGK Giải tích 12: Cho $z = 2 + 3 i$ . Hãy tính $z + \bar{z}$ và $z . \bar{z}$ . Nêu nhận xét.

Phương pháp giải:

Tính $\bar{z}$ rồi thực hiện các phép tính cộng, nhân số phức.

Lời giải:

Ta có: $z = 2 + 3 i \Rightarrow \bar{z} = 2 - 3 i$ .

Khi đó $z + \bar{z} = (2 + 3 i) + (2 - 3 i)$ $= 2 + 3 i + 2 - 3 i = 4$

$z . \bar{z} = (2 + 3 i) (2 - 3 i)$ $= 2^{2} - {(3 i)}^{2} = 4 + 9 = 13$ .

Nhận xét:

Tổng của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

Tích của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

Trả lời câu hỏi 2 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép chia sau:

$\frac{1 + i}{2 - 3 i}; \frac{6 + 3 i}{5 i}$

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Lời giải:

$\begin{aligned} \frac{1 + i}{2 - 3 i} = \frac{(1 + i) (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} \\ = \frac{2 + 2 i + 3 i + 3 i^{2}}{2^{2} - 9 i^{2}} \\ = \frac{2 + 5 i - 3}{13} = \frac{- 1}{13} + \frac{5 i}{13} \\ \frac{6 + 3 i}{5 i} = \frac{(6 + 3 i) (- 5 i)}{5 i (- 5 i)} \\ = \frac{- 30 i - 15 i^{2}}{- 25 i^{2}} = \frac{- 30 i + 15}{25} \\ = \frac{- 6 i + 3}{5} \end{aligned}$

Câu hỏi và bài tập (trang 138 Giải tích 12)

Bài 1 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép chia sau:

a) $\frac{2 + i}{3 - 2 i}$ ;

b) $\frac{1 + i \sqrt{2}}{2 + i \sqrt{3}}$ ;

c) $\frac{5 i}{2 - 3 i}$ ;

d) $\frac{5 - 2 i}{i}$ .

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Chú ý: $i^{2} = - 1.$

Lời giải:

$\frac{2 + i}{3 - 2 i} = \frac{(2 + i) (3 + 2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$ $= \frac{6 + 7 i + 2 i^{2}}{9 + 4} = \frac{4}{13} + \frac{7}{13} i .$

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2 + i \sqrt{3}} = \frac{(1 + i \sqrt{2}) (2 - i \sqrt{3})}{(2 + i \sqrt{3}) (2 - i \sqrt{3})}$

$= \frac{2 + (2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) i - \sqrt{6} i^{2}}{4 + 3}$ $= \frac{2 + \sqrt{6}}{7} + \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{7} i .$

$\frac{5 i}{2 - 3 i} = \frac{5 i (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$ $= \frac{10 i + 15 i^{2}}{4 + 9} = - \frac{15}{13} + \frac{10}{13} i .$

$\frac{5 - 2 i}{i} = \frac{(5 - 2 i) i}{i^{2}}$ $= - (5 i - 2 i^{2}) = - 2 - 5 i .$

Bài 2 trang 138 SGK Giải tích 12: Tìm nghịch đảo

\frac{1}{z}

của số phức

z

, biết:

a) $z = 1 + 2 i$ ;

b) $z = \sqrt{2} - 3 i$ ;

c) $z = i$ ;

d) $z = 5 + i \sqrt{3}$ .

Phương pháp giải:

Cho số phức $z = a + b i, (a, b \in R) .$ Khi đó nghịch đảo của số phức $z$ là:

$\frac{1}{z} = \frac{1}{a + b i} = \frac{a - b i}{(a + b i) (a - b i)}$ $= \frac{a - b i}{a^{2} + b^{2}} .$

c) Nhân cả tử và mẫu với $i$ và sử dụng định nghĩa $i^{2} = - 1$

Lời giải:

$\frac{1}{1 + 2 i} = \frac{1 - 2 i}{1^{2} + 2^{2}}$ $= \frac{1 - 2 i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i .$

$\frac{1}{\sqrt{2} - 3 i} = \frac{\sqrt{2} + 3 i}{(\sqrt{2})^{2} + (- 3)^{2}}$ $= \frac{\sqrt{2} + 3 i}{11}$ $= \frac{\sqrt{2}}{11} + \frac{3}{11} i$

$\frac{1}{i} = \frac{i}{i^{2}} = \frac{i}{- 1} = - i$

\frac{1}{5 + i \sqrt{3}} = \frac{5 - i \sqrt{3}}{5^{2} + (\sqrt{3})^{2}}

= \frac{5 - i \sqrt{3}}{28}

= \frac{5}{28} - \frac{\sqrt{3}}{28} i

Bài 3 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) $2 i (3 + i) (2 + 4 i)$ ;

b) $\frac{(1 + i)^{2} (2 i)^{3}}{- 2 + i}$

c) $3 + 2 i + (6 + i) (5 + i)$ ;

d) $4 - 3 i + \frac{5 + 4 i}{3 + 6 i}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhân và chia các số phức để làm bài toán.

Một số công thức cơ bản:

$\begin{array}{l} +) i^{2} = - 1. \\ +) i^{3} = - i . \\ +) {(1 + i)}^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i . \end{array}$

Lời giải:

$2 i (3 + i) (2 + 4 i) = 2 i (6 + 14 i + 4 i^{2}) = 2 i (2 + 14 i) = 4 i + 28 i^{2} = - 28 + 4 i .$

$= \frac{(1 + 2 i + i^{2}) .8 i^{3}}{- 2 + i}$ $= \frac{2 i .8 i^{3}}{- 2 + i}$ $= \frac{16 i^{4}}{- 2 + i}$ $= \frac{16}{- 2 + i}$ $= \frac{16 (- 2 - i)}{(- 2 + i) (- 2 - i)}$ $= \frac{- 32 - 16 i}{5}$ $= - \frac{32}{5} - \frac{16}{5} i$

$3 + 2 i + (6 + i) (5 + i) = 3 + 2 i + 30 + 11 i + i^{2} = 3 + 2 i + 29 + 11 i = 32 + 13 i .$

$4 - 3 i + \frac{5 + 4 i}{3 + 6 i} = 4 - 3 i + \frac{(5 + 4 i) (3 - 6 i)}{3^{2} + 6^{2}} = 4 - 3 i + \frac{15 - 18 i - 24 i^{2}}{45} = 4 - 3 i + \frac{39}{45} - \frac{18}{45} i = (4 + \frac{39}{45}) - (3 + \frac{18}{45}) i = \frac{73}{15} - \frac{17}{5} i .$

Bài 4 trang 138 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau:

a) $(3 - 2 i) z + (4 + 5 i) = 7 + 3 i$ ;

b) $(1 + 3 i) z - (2 + 5 i) = (2 + i) z$ ;

c) $\frac{z}{4 - 3 i} + (2 - 3 i) = 5 - 2 i$ .

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

+) Sử dụng công thức chia hai số phức.

Lời giải:

Ta có $(3 - 2 i) z + (4 + 5 i) = 7 + 3 i \Leftrightarrow (3 - 2 i) z = 7 + 3 i - 4 - 5 i$

$\Leftrightarrow (3 - 2 i) z = 3 - 2 i \Leftrightarrow z = \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i} \Leftrightarrow z = 1$ .

Vậy $z = 1$ .

Ta có $(1 + 3 i) z - (2 + 5 i) = (2 + i) z \Leftrightarrow (1 + 3 i) z - (2 + i) z = (2 + 5 i)$

$\Leftrightarrow (1 + 3 i - 2 - i) z = 2 + 5 i \Leftrightarrow (- 1 + 2 i) z = 2 + 5 i$

$\Leftrightarrow z = \frac{2 + 5 i}{- 1 + 2 i} \Leftrightarrow z = \frac{(2 + 5 i) (- 1 - 2 i)}{1^{2} + 2^{2}} \Leftrightarrow z = \frac{- 2 - 4 i - 5 i - 10 i^{2}}{5} \Leftrightarrow z = \frac{8 - 9 i}{5} = \frac{8}{5} - \frac{9}{5} i$

Vậy $z = \frac{8}{5} - \frac{9}{5} i .$

$\begin{array}{l} \frac{z}{4 - 3 i} + 2 - 3 i = 5 - 2 i \\ \Leftrightarrow \frac{z}{4 - 3 i} = 5 - 2 i - 2 + 3 i \\ \Leftrightarrow \frac{z}{4 - 3 i} = 3 + i \\ \Leftrightarrow z = (3 + i) (4 - 3 i) \\ \Leftrightarrow z = 12 - 5 i - 3 i^{2} \\ \Leftrightarrow z = 15 - 5 i . \end{array}$

Vậy $z = 15 - 5 i .$

Lý thuyết Bài 3: Phép chia số phức

Kiến thức cơ bản

Cho hai số phức $c + d i$ và $a + b i \neq 0$ .

Khi đó $\frac{c + d i}{a + b i} = \frac{(c + d i) (a - b i)}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a c + b d}{a^{2} + b^{2}} + \frac{a d - b c}{a^{2} + b^{2}} i$

(Nhân cả tử và mẫu với $a - b i$ (số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý: Với $z \neq 0$ ta có:

- Số phức nghịch đảo của $z$ là: $z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{| z |^{2}} .$

- Thương của $z^{'}$ chia cho $z$ là:

$\frac{z^{'}}{z} = z^{'} z^{- 1}$ $= \frac{z^{'} \bar{z}}{| z |^{2}} = \frac{z^{'} \bar{z}}{z \bar{z}}$

Sơ đồ tư duy về số phức

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 12

Giải Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Xem thêm các chương trình khác: