SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số | Giải SBT Toán lớp 12

Chúng tôi giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1.1 trang 7 SBT Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y=3x28x3

b) y=16x+2x2163x3x4

c) y=x36x2+9x

d) y=x4+8x2+5

Phương pháp giải:

- Tính y.

- Tìm nghiệm của phương trình y=0.

- Xét dấu y và kết luận.

Lời giải:

a) y=3x28x3

TXĐ: R

y=6x24x2=6x(14x)

y=0[x=0x=14

Xét dấu y:

SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số| Giải SBT Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ta thấy, y>00<x<14 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;14).

y<0[x>14x<0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (;0) và (14;+).

b) y=16x+2x2163x3x4

TXĐ: R

y=16+4x16x24x3 =4(x+4)(x21)

y=0[x=4x=±1

Bảng biến thiên:

SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số| Giải SBT Toán lớp 12 (ảnh 2)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (;4) và (1;1), nghịch biến trên các khoảng (4;1) và (1;+).

c) y=x36x2+9x

TXĐ: R

y=3x212x+9

y'=0   <=>  [x=1x=3

y>0[x>3x<1 nên hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (3;+).

y<01<x<3 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).

d) y=x4+8x2+5

TXĐ: R

y=4x3+16x=4x(x2+4)

y=0x=0

y>0x>0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;+).

y<0x<0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (;0).

Bài 1.2 trang 7 SBT Giải tích 12: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y=32xx+7

b) y=1(x5)2

c) y=2xx29

d) y=x4+48x

e) y=x22x+3x+1

g) y=x25x+3x2

Phương pháp giải:

a) - Tìm TXĐ.

- Tính y theo công thức (ax+bcx+d)=adbc(cx+d)2

- Xét dấu y và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

b) - Tìm TXĐ.

- Tính y theo công thức (1u)=uu2

- Xét dấu y và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

c) - Tìm TXĐ.

- Tính y theo công thức (uv)=uvuvv2

- Xét dấu y và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

d) - Tìm TXĐ.

- Tính y theo công thức (uv)=uvuvv2.

- Xét dấu y và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

e) - Tìm TXĐ.

- Tính y theo công thức (uv)=uvuvv2.

- Xét dấu y và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Lời giải:

a) y=32xx+7

TXĐ: R{7}

y=2.73.1(x+7)2=17(x+7)2<0, x7

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (;7) và (7;+).

b) y=1(x5)2

TXĐ: D=R{5}

Ta có: y=[(x5)2](x5)4 =2(x5)(x5)4 =2(x5)3

y>02(x5)3>0 (x5)3<0x<5 nên hàm số đồng biến trên khoảng (;5).

y<02(x5)3<0 (x5)3>0x>5 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (5;+).

c) y=2xx29 

TXĐ: D=R{±3}

y=(2x).(x29)2x.(x29)(x29)2 =2(x29)2x.2x(x29)2=2x218(x29)2 =2(x2+9)(x29)2<0,xD

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (;3),(3;3),(3;+).

d) y=x4+48x

TXĐ: D=R{0}.

Ta có: y=(x4+48).x(x).(x4+48)x2 =4x3.xx448x2=3x448x2 =3(x416)x2=3(x24)(x2+4)x2

y=0x24=0x=±2.

Bảng biến thiên:

SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số| Giải SBT Toán lớp 12 (ảnh 4)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (;2) và (2;+).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (2;0) và (0;2).

e) y=x22x+3x+1 

TXĐ: D=R{1}

Ta có: y=(x22x+3)(x+1)(x+1)(x22x+3)(x+1)2 =(2x2)(x+1)(x22x+3)(x+1)2 =x2+2x5(x+1)2

Khi đó y=0x2+2x5=0 x=1±6

Bảng biến thiên:

SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số| Giải SBT Toán lớp 12 (ảnh 6)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (;16),(1+6;+)

và nghịch biến trên các khoảng (16;1),(1;1+6)

g) y=x25x+3x2

TXĐ: D=R{2}

Ta có: y=(x25x+3)(x2)(x2)(x25x+3)(x2)2 =(2x5)(x2)(x25x+3)(x2)2 =x24x+7(x2)2 =(x2)2+3(x2)2>0,xD.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (;2) và (2;+).

Bài 1.3 trang 8 SBT Giải tích 12Xét tính đơn điệu của các hàm số:

a) y=xx+100

b) y=x3x26

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định.

- Tính y và tìm nghiệm của y=0.

- Xét dấu của y và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

a) y=xx+100

Ta có: y=(x)(x+100)x.(x+100)(x+100)2 =x+1002xx(x+100)2=100x2x(x+100)2

y=0x=100.

Bảng biến thiên:

SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số| Giải SBT Toán lớp 12 (ảnh 7)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;100) và nghịch biến trên khoảng (100;+)

b) y=x3x26

TXĐ: (;6)(6;+)

y=2x2(x29)(x26)x26 ;y=0x=±3

Bảng biến thiên:

SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số| Giải SBT Toán lớp 12 (ảnh 8)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (;3),(3;+), nghịch biến trên các khoảng (3;6),(6;3).

Bài 1.4 trang 8 SBT Giải tích 12Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y=xsinx,x[0;2π]

b) y=sin1x , (x>0)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính y và xét dấu y.

- Kết luận.

Lời giải:

a) y=xsinx,x[0;2π]

y=xsinx,x[0;2π].

y=1cosx0 với mọi x[0;2π]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x=0 và x=2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0;2π].

b) y=sin1x , (x>0)

Xét hàm số y=sin1x  với x>0.

y=1x2cos1x

Với x>0 ta có:

1x2(cos1x)>0  ⟺ cos1x < 0

⟺ π2(1+4k)<1x<π2(3+4k) ,k = 0, 1, 2 ….

⟺ 2π(1+4k)>x>2π(3+4k)  , k = 0, 1, 2 ……..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

....,(2(4k+3)π;2(4k+1)π),(2(4k1)π;2(4k3)π),....., (27π;25π),(23π;2π)

và nghịch biến trên các khoảng

……, (2(4k+1)π;2(4k1)π),(25π;23π),.....,(2π;+)

với k = 0, 1, 2 …
Bài 1.5 trang 8 SBT Giải tích 12: Xác định  để hàm số sau:
a) y=mx4xm đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) y=x3+mx23x+4 nghịch biến trên (;+)

Phương pháp giải:

a) - Tìm TXĐ D.

- Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến trên D nếu y>0,xD.

b) - Hàm số đa thức bậc ba nghịch biến trên R nếu y0,xR.

- Tam thức bậc hai y=ax2+bx+c0,xR

{a<0Δ0

Lời giải:

a) y=mx4xm đồng biến trên từng khoảng xác định;

Tập xác định: D = R\{m}

y=m2+4(xm)2

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

y>0,xmm2+4(xm)2>0,xm

m2+4>0m2<42<m<2

b) y=x3+mx23x+4 nghịch biến trên (;+)

Tập xác định: D=R

y=3x2+2mx3

Hàm số nghịch biến trên R 

y0,xR3x2+2mx30,xR{a=3<0(đúng)Δ=m2(3).(3)0m290m293m3

Bài 1.6 trang 8 SBT Giải tích 12: Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất 3(cosx1)+2sinx+6x=0

Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số:

- Xét hàm số vế trái và chứng minh nó đơn điệu trên R.

- Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Đặt y=3(cosx1)+2sinx+6x

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈  R

Ta có: y(0)=0 và y=3sinx+2cosx+6>0,xR.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x=0

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Bài 1.7 trang 8 SBT Giải tích 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx>sinx0<x<π2

b) 1+12xx28<1+x<1+12x với x>0

Phương pháp giải:

a) Xét hàm f(x)=tanxsinx và chứng minh nó đồng biến trên (0;π2).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) Xét các hàm số f(x)=1+12xx281+x và g(x)=1+x112x trên (0;+) và chứng minh chúng nghịch biến trên (0;+).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải:

a) tanx>sinx0<x<π2

Xét hàm f(x)=tanxsinx trên khoảng (0;π2) ta có:

f(x)=1cos2xcosx =1cos3xcos2x>0 với x(0;π2) vì cosx<1 với mọi x(0;π2) nên cos3x<1,x(0;π2)

Do đó hàm số f(x)=tanxsinx đồng biến trên (0;π2)

f(x)>f(0)=0 tanxsinx>0tanx>sinx  với mọi x(0;π2).

b) 1+12xx28<1+x<1+12x với x>0

Xét f(x)=1+12xx281+x trên (0;+) ta có: f(x)=1214x12x+1.

Vì x>0 nên f(x)<1214.0120+1=0 nên hàm số y=f(x) nghịch biến trên (0;+)

Do đó f(x)<f(0)=0 1+12xx281+x<0 1+12xx28<1+x(1)

Xét g(x)=1+x112x trên (0;+) ta có: g(x)=12x+112

Vì x>0 nên g(x)<120+112=0 hay y=g(x) nghịch biến trên (0;+)

Do đó g(x)<g(0)=0 hay 1+x112x<0 1+x<1+12x(2)

Từ (1) và (2) ta được 1+12xx28<1+x<1+12x với x>0. (đpcm)

Bài 1.8 trang 8 SBT Giải tích 12: Xác định giá trị của b để hàm số f(x)=sinxbx+c nghịch biến trên toàn trục số.

Phương pháp giải:

Hàm số  nghịch biến trên  với mọi  nếu f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ D .

Lời giải:

f(x)=sinxbx+c nghịch biến trên R nếu ta có:

f(x)=cosxb0,xR.

Vì |cosx|1 nên f(x)0,xR<=>b1.

Bài 1.9 trang 8 SBT Giải tích 12: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y=sin3x là hàm số chẵn.

B. Hàm số y=3x+5x1 xác định trên R.

C. Hàm số y=x3+4x5 đồng biến trên R.

D. Hàm số y=sinx+3x1 nghịch biến trên R.

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của mỗi đáp án, sử dụng tính chẵn lẻ, tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải:

Đáp án A: TXĐ: D=R.

Có f(x)=sin(3x) =sin3x=f(x) nên hàm số y=sin3x lẻ trên R.

A sai.

Đáp án B: ĐKXĐ: x10x1 nên TXĐ: D=R{1}.

B sai.

Đáp án C: TXĐ: D=R

Có y=3x2+4>0,xR nên hàm số y=x3+4x5 đồng biến trên R.

C đúng.

Chọn C.

Chú ý:

Ngoài ra các em cũng có thể kiểm tra thêm đáp án D: y=cosx+3>0,xR nên hàm số đồng biến trên R. Do đó D sai.

Bài 1.10 trang 8 SBT Giải tích 12: Hàm số y=25x2 nghịch biến trên khoảng:

A. (;0)

B. (5;0)

C. (0;5)

D. (5;+)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ D.

- Tính y và tìm nghiệm của y=0 trên D.

- Xét dấu y và suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

TXĐ: D=[5;5].

Ta có: y=x25x2=0x=0.

Bảng biến thiên:

SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số | Giải SBT Toán lớp 12 (ảnh 2)

Hàm số đã cho nghịch biến trên (0;5).

Chọn C.

Bài 1.11 trang 8 SBT Giải tích 12: Hàm số y=x16x2 đồng biến trên khoảng

A. (4;+)

B. (4;4)

C. (;4)

D. R

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ D.

- Tính y và tìm nghiệm của y=0 trên D.

- Xét dấu y và suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D=(4;4).

Có y=16x2x.2x216x216x2 =(16x2)+x2(16x2)16x2 =16(16x2)16x2>0, x(4;4)

Do đó hàm số đồng biến trên (4;4).

Chọn B.

Bài 1.12 trang 8 SBT Giải tích 12Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. 3sin2xcos2x+5=0

B. x25x+6=0

C. x5+x37=0

D. 3tanx4=0

Phương pháp giải:

Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số vế trái, hàm số nào đơn điệu trên  thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Đáp án C vì: Xét hàm f(x)=x5+x37 có f(x)=5x4+3x2=x2(5x2+3).

f(x)=0x=0 và f(x)0,xR nên hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác f(0)=7<0,f(2)=33>0 nên f(0).f(2)<0.

Hàm số y=f(x) liên tục trên [0;2] nên tồn tại x0(0;2) để f(x0)=0 hay phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên R.

Chọn C.

Chú ý:

Cách khác:

+) Phương trình 3sin2xcos2x+5=0 3sin2x(1sin2x)+5=0 4sin2x+4=0 4(sin2x+1)=0 (vô nghiệm vì 0sin2x1) nên loại A.

+) Các phương trình x25x+6=0 và 3tanx4=0 có nhiều hơn một nghiệm nên loại B, D.

Chọn C.

Bài 1.13 trang 8 SBT Giải tích 12: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. x27x+12=0

B. x3+5x+6=0

C. x43x2+1=0

D. 2sinxcos2x2sinxcos2x+1=0

Phương pháp giải:

Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số vế trái, hàm số nào đơn điệu trên R thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Đáp án B vì: Xét hàm f(x)=x3+5x+6 có f(x)=3x2+5>0,xR nên hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác, f(1)=0 nên phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên R.

Chọn B.

Bài 1.14 trang 8 SBT Giải tích 12: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. (x5)(x2x12)=0

B. x3+x23x+2=0

C. sin2x5sinx+4=0

D. sinxcosx+1=0

Phương pháp giải:

Loại đáp án, xét các đáp án bằng cách giải mỗi phương trình và suy ra số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: (x5)(x2x12)=0[x5=0x2x12=0[x=5x=3x=4 nên phương trình có 3 nghiệm.

Đáp án B: Xét hàm f(x)=x3+x23x+2=0 có f(x)=3x2+2x3 và Δ=19=8<0 nên f(x)<0,xR hay hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mà f(0)=2,f(1)=1 nên f(0).f(1)<0, hàm số f(x) liên tục trên [0;1] nên phương trình có nghiệm x0(0;1).

Kết hợp với hàm số nghịch biến trên R nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên R.

Chọn B.

Bài 1.15 trang 8 SBT Giải tích 12: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y=x32mx2+12x7 đồng biến trên R.

A. m=4

B. m(0;+)

C. m(;0)

D. 3m3

Phương pháp giải:

- Tính y.

- Hàm số đồng biến trên R y0,xR.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D=R.

Ta có: y=3x24mx+12.

Hàm số đồng biến trên Ry0,xR 3x24mx+120,xR

Δ=4m2360 m29 3m3.

Chọn D.
Bài 1.16 trang 8 SBT Giải tích 12: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y=mx5m+4x+m nghịch biến trên từng khoảng xác định.

A. m<1 hoặc m>4

B. 0<m<1

C. m>4

D. 1m4

Phương pháp giải:

- Tính y.

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nếu y<0 trên từng khoảng xác định.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D=R{m}.

Ta có: y=m2+5m4(x+m)2,xm.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (;m) và (m;+) nếu y<0,xm m2+5m4(x+m)2<0,xm m2+5m4<0 [m>4m<1.

Chọn A.