Giải Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phương trình bậc hai với hệ số thực lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 139 SGK Giải tích 12: Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a?

Lời giải:

Căn bậc hai của một số thực dương a là một số thực b sao cho b2=a

Câu hỏi và bài tập (trang 140 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 140 SGK Giải tích 12: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: 7;8;12;20;121
Phương pháp giải:

Ta viết a=(1).a=i2.a=(±i.a)2(a>0)

Lời giải:

Căn bậc hai của 7 là ±i7;

Căn bậc hai của 8 là ±22i;

Căn bậc hai của 12 là ±23i;

Căn bậc hai của 20 là ±25i;

Căn bậc hai của 121 là ±11i

Bài 2 trang 140 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 3z2+2z1=0;

b) 7z2+3z+2=0;   

c) 5z27z+11=0 

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai: az2+bz+c=0 (a0)

Bước 1: Tính: Δ=b24ac (hoặc Δ=b2ac).

Bước 2: 

Nếu Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=b2a.

Nếu Δ>0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x=b±Δ2a.

Nếu Δ<0, gọi δ là một căn bậc hai của Δ

Phương trình có hai nghiệm phức x1,2=b±δ2a

(Với δ=±i.Δ)

Lời giải:

a)

Ta có =12(3).(1)=13=2<0.

Ta viết: =2=2.i2 (Vì i2=1).

δ=Δ=2i2=±i2

Vậy nghiệm của phương trình là z=1±i23

b)

Ta có =324.7.2=956=47.

Ta viết: =47=47.i2 (Vì i2=1).

δ=Δ=47i2=±i47

Vậy nghiệm của phương trình là z=3±i4714;

c)

Ta có =494.5.11=171.

Ta viết: =171=171.i2 (Vì i2=1).

δ=Δ=171.i2=±i171

Vậy nghiệm của phương trình là z=7±i17110

Bài 3 trang 140 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z4+z26=0;

b) z4+7z2+10=0 

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình az4+bz2+c=0(a0).

Bước 1: Đặt z2=t, đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t: at2+bt+c=0.

Bước 3: Từ nghiệm t, ta giải tìm nghiệm x bằng cách tìm căn bậc hai của t.

Lời giải:

a)

Đặt t=z2 , ta được phương trình t2+t6=0[t=2t=3

Khi t=2z2=2z1,2=±2

Khi t=3z2=3z3,4=±i3

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: ±2 và ±i3.

b)

Đặt t=z2 , ta được phương trình t2+7t+10=0[t=2t=5

Khi t=2z2=2z1,2=±i2

Khi t=5z2=5z3,4=±i5

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: ±i2 và ±i5.

Bài 4 trang 140 SGK Giải tích 12: Cho a,b,cRa0z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình az2+bz+c=0

Hãy tính z1+z2 và z1z2 theo các hệ số a,b,c

Phương pháp giải:

+) Tính biệt thức Δ=b24ac.

+) Chia các trường hợp của Δ:

TH1: Δ0, sử dụng kết quả của định lí Vi-et đã biết.

TH2: Δ<0, gọi δ là một căn bậc hai của Δ, suy ra các nghiệm phức của phương trình bậc hai và tính tổng, tích các nghiệm phức đó.

Lời giải:

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

+) Trường hợp 0, theo định lí vi-ét ta có: {z1+z2=baz1z2=ca

+) Trường hợp <0,  gọi δ là một căn bậc hai của Δ, khi đó các nghiệm của phương trình là: 

z1=b+δ2a;z2=bδ2az1+z2=b+δbδ2a=baz1z2=(b+δ)(bδ)4a2=b2δ24a2=b2(b24ac)4a2=4ac4a2=ca

Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp <0.

Bài 5 trang 140 SGK Giải tích 12: Cho z=a+bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z¯ làm nghiệm

Phương pháp giải:

Cách 1:

z,z¯ là nghiệm của phương trình (xz)(xz¯)=0.

Thay z,z¯ và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai.

Cách 2:

Tính S=z+z¯,P=z.z¯, khi đó z,z¯ là nghiệm của phương trình x2Sx+P=0

Lời giải:

Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận z và z¯ làm nghiệm là

(xz)(xz¯)=0x2x.z¯x.z+z.z¯=0x2(z+z¯)x+z.z¯=0x2(a+bi+abi)+(a+bi)(abi)=0x22ax+a2+b2=0

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là x22ax+a2+b2=0

Cách 2:

Ta có:

z+z¯=a+bi+abi=2az.z¯=(a+bi)(abi)=a2+b2

z,z¯ là nghiệm của phương trình x22ax+a2+b2=0.

Lý thuyết Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Kiến thức cơ bản

- Các căn bậc hai của số thực a<0 là ±i|a|

- Xét phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 với a,b,cRa0.

Đặt  Δ=b24ac.

- Nếu =0 thì phương trình có một nghiệm kép (thực) x=b2a.

- Nếu >0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2b±2a

- Nếu <0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = b±i||2a

Nhận xét. Trên C, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt). Tổng quát, mọi phương trình bậc nnN đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt).

Sơ đồ tư duy về phương trình bậc hai với hệ số thực