Giải Toán 12 Ôn tập chương I - Khối đa diện

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương I - Khối đa diện chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập chương I - Khối đa diện lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương I - Khối đa diện

Câu hỏi và bài tập (trang 26, 27 SGK Hình học 12)

Bài 1 trang 26 SGK Hình học 12: Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?

Phương pháp giải:

Suy ra điều kiện về các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện từ khái niệm của khối đa diện.

Lời giải:

Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất:

- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh, ba mặt;

- Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt;

- Hai mặt bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có đúng một cạnh chung.

Bài 2 trang 26 SGK Hình học 12: Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất các đường của khối đa diện:

- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Dễ thấy cạnh EF không thỏa mãn tính chất này nên hình không là khối đa diện.

Lời giải:

Ví dụ, hình sau được tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.

Vì EF là giao của hai đa giác ABCD và EFJI nhưng nó không phải là cạnh chung của hai đa giác đó.

Bài 3 trang 26 SGK Hình học 12: Thế nào là một khối đa diện lồi? Tìm ví dụ trong thực tế mô tả một khối đa diện lồi, một khối đa diện không lồi.

Phương pháp giải:

Khối đa diện không thỏa mãn điều kiện trên thì là khối đa diện không lồi.

Lời giải:

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc H.

Khối đa diện lồi: 

Chẳng hạn: Hình hộp chữ nhật (viên gạch đặc, bao diêm, các thùng đựng)

Các hình (H) mô tả một khối da diện lồi, hình (H) mô tả một khối đa diện không lồi.

Bài 4 trang 26 SGK Hình học 12: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ: V=B.h, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.

Thể tích khối chóp: V=13B.h, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.

Lời giải:

Gọi B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ ta có:

Vlăng trụ =B.h=V(H)

Gọi B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp ta có:

B=B ( cùng bằng diện tích tam giác ABC)

h=h ( cùng bằng khoảng cách từ A đến mp ABC )

Vchóp = 13B.h=13B.h=V(H) (Vì diện tích đáy và chiều cao bằng nhau)

Vậy tỉ lệ thể tích giữa hình lăng trụ và hình chóp là: V(H)V(H)=3.

Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12: Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a,OB=b,OC=c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.

Phương pháp giải:

+) Gọi H là trọng tâm của ΔABC, chứng minh OH(ABC).

+) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính OH.

Lời giải:

Kẻ ADBC,OHAD ta chứng minh OH chính là đường cao của hình chóp.

{BCOABCAHBC(OAH)BCOH(1){ACBHACOBAC(OBH)ACOH(2)(1);(2)OH(ABC)

Vậy OH chính là đường cao của hình chóp.

BC(OAH)BC(OAD) BCOD.

Tam giác OBC vuông tại O nên BC=OB2+OC2=b2+c2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:

OD.BC=OB.OC nên OD=OB.OCBC=bcb2+c2.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có:

AD=AO2+OD2 =a2+b2c2b2+c2 

=a2b2+b2c2+c2a2b2+c2 .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: OH.AD=OA.OD nên

OH=OA.ODAD =abcb2+c2:a2b2+b2c2+c2a2b2+c2 =abca2b2+b2c2+c2a2.

Cách khác:

Tam giác OBC vuông tại O có OD là đường cao nên 1OD2=1OB2+1OC2

Tam giác AOD vuông tại O có chiều cao OH nên

1OH2=1OA2+1OD2 =1OA2+1OB2+1OC2 =1a2+1b2+1c2=b2c2+c2a2+a2b2a2b2c2

OH2=a2b2c2a2b2+b2c2+c2a2

OH=abca2b2+b2c2+c2a2

Chú ý: Ta thấy khi OABC là tứ diện vuông (OA,OB,OC đôi một vuông góc) thì: 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.

Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.

Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.

Phương pháp giải:

a) + Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Qua B kẻ BDSA, chứng minh mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA là (BCD).

+ Sử dụng công thức tỉ số thể tích: VS.DBCVS.ABC=SDSA.SBSB.SCSC=SDSA.

b) Tính thể tích khối chóp S.ABC sau đó tính thể tích khối chóp S.DBC.

Lời giải:

a) Vì hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao H là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy.

Do đó AH là hình chiếu của SA lên (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) bằng góc giữa SA và AH hay góc SAH=600.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC thì AM là đường cao của tam giác đều ABC:

AM=ABsin600=a32

AH=23.AM=a33

SA=AHcos600 = 2a33=SB

Xét tam giác vuông SBM ta có: SM=SB2BM2 =12a29a24=a396.

Qua B kẻ BDSA, khi đó ta có: 

{BCAMBCSHBC(SAM)BCSA{SABCSABDSA(BCD)

Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.

SA(BCD)SADM

Xét tam giác vuông ADM có: DM=AM.sin60=a32.32=3a4

Xét tam giác vuông SDM có: SD=SM2DM2=5312a

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

VS.DBCVS.ABC=SDSA.SBSB.SCSC =5a312:2a33=58

b) Ta có: SABC=12AB.AC.sin600a234

SH=AH.tan600=a

VS.ABC=13.SH.SABC =13.a.a234=a3312

Từ kết quả câu a) ta có:

VS.DBC=58.VS.ABC VS.BDC=58.a3312

VS.DBC=5a3396

Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.

Phương pháp giải:

Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Áp dụng công thức tính thể tích Vchóp=13Sh trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp.

Lời giải:

Kẻ SH(ABC) và từ H kẻ HIAB,HJBC,HKCA.

Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:

SIAB,SJBC,SKAC do đó:

+) Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là SIH^=600

+) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SJH^=600

+) Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) là SKH^=600

Từ đây ta có: SIH=△SJH=△SKH (c.g.v.g.n)

IH=JH=KH

H là tâm đường tròn nội tiếp ABC.

Tam giác ABC có chu vi: 2p=AB+BC+CA=18ap=9a

Theo công thức Hê-rông, ta có: SABC=p(pAB)(pAC)(pBC) =9a.4a.2a.3a=6a26

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

IH=r=SABCp=6a269aIH=2a63

Xét tam giác vuông SHI có: SH=r.tan600 = 2a63.3=2a2

Vậy thể tích khối chóp: VS.ABC=13.2a2.6a26=8a33

Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a,AD=b,SA=c. Lấy các điểm B,D theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB vuông góc với SB,AD vuông góc với SD. Mặt phẳng (ABD) cắt SC tại C. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Phương pháp giải:

Chứng minh SC(ABCD)

VS.ABCD=13SC.SABCD

Lời giải:

Ta có BCAB,BCSABC(SAB) BCAB

Theo giả thiết SBAB AB(SBC)ABSC         (1)

Chứng minh tương tự ta có: ADSC(2)

Từ (1) và (2) suy ra SC(ABCD) hay SC(ABCD)

Do đó SC là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Từ AB(SBC) ABBC

Tương tự ta có: ADDC

SABCD=SABC+SADC

=12AB.BC+12AD.DC =12(AB.BC+AD.DC)

Từ các kết quả trên, ta được:

VABCD=13.SC.12(AB.BC+AD.DC)

=16SC.(AB.BC+AD.DC)     (*)

Ta tính các yếu tố trên.

Tam giác vuông SAB có AB là đường cao, nên ta có:

1AB2=1a2+1c2AB2=a2c2a2+c2 AB=aca2+c2

Tương tự, ta có:

AD2=b2c2b2+c2AD=bcb2+c2

Ta lại có: SC2=AC2+AS2=a2+b2+c2SC=a2+b2+c2

Trong tam giác vuông SAC,AC là đường cao

SC.SC=SA2 SC=SA2SC=c2a2+b2+c2

SBC đồng dạng  SCB (g.g)BCBC=SCSB

BC=SC.BCSB=bc2a2+c2a2+b2+c2

Tương tự ta có:  DC=c2ab2+c2a2+b2+c2

Thay các kết quả này vào (*) ta được:

V=16.abc5(a2+b2+2c2)(a2+c2)(b2+c2)(a2+b2+c2)

Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

Phương pháp giải:

Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua AM và song song với BD là tức giác AEMF.

Chứng minh AEMF có hai đường chéo vuông góc SAEMF=12AM.EF

Chứng minh SM(AEMF) VS.AEMF=13SM.SAEMF

Lời giải:

Gọi H=ACBD.

Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên chân H của đường cao SH chính là tâm của đáy.

Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt mặt phẳng (SDB) theo một giao tuyến song song với BD\. Ta dựng giao tuyến EF như sau: Gọi I là giao điểm của AM và SH. Qua I ta dựng một đường thẳng song song với BD, đường này cắt SB ở E và cắt SD ở F.

Ta có: HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD) (SA;(ABCD))^=(SA;AH)^=SAH^=600

Tam giác cân SAC có SA=SC và góc SAC=600 nên nó là tam giác đều: I là giao điểm của các trung tuyến AM và AH nên I là trọng tâm của tam giác đều SAC SISH=23

Do EF//DB EFDB=SFSD=SESB=SISH=23

Vì DB=a2 EF=2a23

Tam giác SAC là tam giác đều nên AM=AC32=a62

Ta lại có {BDACBDSHBD(SAC) BDAMAMEF

Tứ giác AEMF có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: SAEMF=12EF.AM=12.2a23.a62=a233

Mặt khác, tam giác ASC là tam giác đều, M là trung điểm của SC nên AMSC. Ta cũng có DB(SAM) DBSC vì DB//EF nên EFSC. Từ kết quả trên, suy ra SM(AEMF).

Dễ thấy SM=a22 (do tam giác SAC đều). Do đó: VS.AEMF=13.a233.a22=a3618.

Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện ABBC.

b) Mặt phẳng đi qua AB và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.ABFE.

Phương pháp giải:

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM(BCCB). Áp dụng công thức VABBC=13AM.SBBC.

b) Mặt phẳng đi qua AB và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.ABFE.

Lời giải:

a) Ta tính thể tích hình chóp A.BCB.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có: AMBC       (1)

Lăng trụ ABC.ABC là lăng trụ đứng nên:

BB(ABC)BBAM           (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM(BBC) hay AM là đường cao của hình chóp A.BCB.

Ta có: AM = a32;SBBC=12a2

VABBC=13.AM.SBBC VABBC=a3312

Cách khác:

Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp A.ABC,C.ABC và C.ABB

Ta có: VA.ABC=VABC=13Sh trong đó S là diện tích đáy S=SABC=SABC và h là chiều cao của hình lăng trụ

Lại có: VABC.ABC=S.h

Do đó, VC.ABB=Sh13Sh13Sh=13Sh

Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên SABC=a234

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên h=AA=BB=CC=a.

Vậy thể tích hình chóp C.ABB là:

VC.ABB=13.a234.a=a3312

b)

Thể tích hình chóp C.ABEF bằng tổng thể tích hai hình chóp:

V1 là thể tích hình chóp đỉnh B, đáy là tam giác CEF.

V2 là thể tích hình chóp đỉnh B, đáy là tam giác AEC.

Do (ABC)//(ABC) nên dễ thấy EF//AB. Ta cũng có: EF = 23a

Hình chóp B.CEF có chiều cao BB=a và diện tích đáy là: SCEF=12EF.CG=12.2a3.23.a32=a239

Từ đây ta có: V1=a3327

Do EC=23AC nên SABE=12AA.EC=12.a.23a=a23

Gọi I là trung điểm của AC ta có: {BIACBIAABI(ACCA)BI(AEC)

Hình chóp B.AEC có chiều cao là BI bằng a32 nên V2=13.BI.SAEC=13.a32.a23=a3318

Vậy thể tích hình chóp C.ABFE là: V=V1+V2 = 5a3354

Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12: Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB và DD. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.

Phương pháp giải:

+) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (CEF).

+) Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Lời giải:

Ta xác định thiết diện của hình hộp ABCD.ABCD khi cắt bởi (CEF). Mặt phẳng (CEF) chứa đường thẳng EF mà E là trung điểm của BB,F là trung điểm của CC.

OEFO(CEF)CO(CEF)

ACOA(CEF)

Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành CEAF.

Mặt phẳng (CEAF) chia khối hộp thành 2 phần: ABCD.AECF  (V1) và ABCD.CEAF (V2)

Qua EF ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt AA ở P và cắt CC ở Q.

Ta có:

VABCD.AECF=VABCD.EFP+VA.PEFVAPEF=VC.QEF

VABCD.AECF=VABCD.EFP+VC.QEF =VABCD.EPFQ=12V

Do đó V1=V2=12VV1V2=1.

Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) chứa điểm O nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm O. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB,N là trung điểm của BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A,(H) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số V(H)V(H).

Phương pháp giải:

a) Coi khối tứ diện ADMN có đỉnh M và đáy ADN. Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: VADMN=VM.ADN=13d(M;(ADN)).SADN

b) Dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (DMN), xác định hai phần khối đa diện cẩn tính thể tích .

Lời giải:

a) Ta tính thể tích hình chóp M.ADN. Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ANCD) bằng a và diện tích đáy SADN=12.a.a=a22

VADMN=13d(M;(ADN)).SADN =13.a.12a2=a36

b) Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi (DMN).

Do (ABCD)//(ABCD) nên (DMN) cắt (ABCD) theo một giao tuyến song song với DN. Ta dựng thiết diện như sau:

- Từ M kẻ đường thẳng song song với DN, đường này cắt cạnh AD tại điểm P và cắt đường thẳng CB tại điểm Q. Trong mặt phẳng (BCCB) thì QN cắt cạnh BB tại điểm R; đa giác DNRMP  chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi (DMN).

- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện ABNDPMR. Ta có: VABNDPMR=VM.ABND+VM.NRB+VM.AAPD =V1+V2+V3

Hình chóp M.ABND, có đường cao bằng a, diện tích đáy là hình thang ABND là: 12(a2+a).a=3a24

Suy ra: V1=13.3a24.aV1=a34

Dễ dàng chứng minh được ΔCND và ΔAPM đồng dạng (g.g) nên APCN=AMCD=12AP=12CN=a4

Hình chóp M.AAPD có chiều cao a2 và diện tích hình thang AAPD là: 12(a4+a).a=5a28

Suy ra: V2=13.a2.5a28V2=5a248

Ta có: ΔAPM=ΔBQMBQ=AP

BRBR=BQNB=12BR=2a3

Diện tích tam giác NRB là: 12.23a.a2=a26

Hình chóp M.NRB có chiều cao a2 và diện tích đáy a26 nên:

V3=13.a2.a26V3=a336

VABNDPMR=V1+V2+V3 =5a348+a34+a336=55a3144

Thể tích phần còn lại là: 144a314455a3144=89a3144

Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: 5589

Bài tập trắc nghiệm (trang 27, 28 SGK Hình học 12)
Bài 1 trang 27 SGK Hình học 12: Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;

(B) Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;

(C) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;

(D) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.

Phương pháp giải:

Lấy ví dụ cho từng đáp án và sử dụng công thức p.Đ = 2C = nM.

Lời giải:

Hình lập phương có 8 đỉnh và 6 mặt nên đáp án A sai.

Xét hình tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt, nên đáp án B đúng.

Giả sử khối đa diện có số cạnh bằng số đỉnh  Đ = C  p = 2, tức là mỗi mặt có 2 cạnh (vô lí). Do đó đáp án C sai.

Giả sử khối đa diện có số cạnh bằng số mặt  M = C  n = 2, tức là mỗi đỉnh là đỉnh chung của 2 cạnh (vô lí). Do đó đáp án D sai.

Chọn đáp án (B).

Bài 2 trang 27 SGK Hình học 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 4;                               (B) Lớn hơn 4;

(C) Lớn hơn hoặc bằng 5;                               (D) Lớn hơn 5.

Phương pháp giải:

Nhớ lại hình đa diện là gì? Sự khác nhau giữa hình đa diện và đa giác?

Lời giải:

Chú ý: Đa giác là một đường gấp khúc khép kín, nghĩa là gồm những đoạn thẳng nối tiếp nhau (mỗi điểm nối là đầu mút của vừa đúng hai đoạn thẳng) cùng nằm trên một mặt phẳng và khép kín.

Hình đa diện là một số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Như vậy để tạo thành một hình đa diện ta cần ít nhất 3 điểm (tạo thành 1 mặt phẳng) và 1 điểm nằm ngoài mặt phẳng ấy.

Với 4 điểm này, tạo thành một hình tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt.

Dễ thấy hình tứ diện là hình đa diện có số mặt và số đỉnh nhỏ nhất trong các khối đa diện.

Chọn đáp án (A).

Bài 3 trang 27 SGK Hình học 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 6;                              

(B) Lớn hơn 6;

(C) Lớn hơn 7;

(D) Lớn hơn hoặc bằng 8.

Phương pháp giải:

Lấy ví dụ khối tứ diện.

Lời giải:

Chú ý: Hình đa diện là một số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Như vậy để tạo thành một hình đa diện ta cần ít nhất 3 điểm (tạo thành 1 mặt phẳng) và 1 điểm nằm ngoài mặt phẳng ấy.

Với 4 điểm này, tạo thành một hình tứ diện có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh.

Dễ thấy hình tứ diện là hình đa diện có số cạnh nhỏ nhất trong các khối đa diện.

Chọn (A).

Bài 4 trang 28 SGK Hình học 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Khối tứ diện là khối đa diện lồi;

(B) Khối hộp là khối đa diện lồi;

(C) Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện;

(D) Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Phương pháp giải:

Khái niệm khối đa diện lồi: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H).

Lời giải:

Dễ dàng nhận thấy các khối tứ diện, khối hộp, khối lăng trụ tam giác là các khối đa diện lồi. Do đó A, B, D đúng.

Khi lắp ghép hai khối hộp chưa chắc được một đa diện lồi. Ví dụ khi lắp ghép hai khối hộp như sau, ta không được một khối đa diện lồi.

Chọn (C).

Bài 5 trang 28 SGK Hình học 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(B) Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(C) Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(D) Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án, dựa váo các công thức tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các khối đa diện.

Lời giải:

Ta có: Vchop=13Sday.h nên đương nhiên khi hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. A đúng.

Ta có: Vlt=Sday.h nên đương nhiên khi hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C đúng.

Diện tích toàn phần của khối lập phương: Stp=6a2, hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau tức là có cạnh bằng nhau, Vlp=a3, vậy chúng có thể tích bằng nhau. D đúng.

Chọn (B) Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì chưa chắc có thể tích bằng nhau.

Bài 6 trang 28 SGK Hình học 12: Cho hình chóp S.ABC. Gọi A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.ABC bằng:

(A)  12                (B) 13 

(C) 14                 (D) 18

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả sau:

Cho khối chóp S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lấy các điểm A,B,C. Khi đó ta có: VS.ABCVS.ABC=SASA.SBSB.SCSC

Lưu ý công thức trên chỉ được phép dùng đối với chóp tam giác, khi không là chóp tam giác phải sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện trước khi sử dụng công thức.

Lời giải:

Ta có: VS.ABCVS.ABC=SASA.SBSB.SCSC=12.12.1=14

Chọn (C).

Bài 7 trang 28 SGK Hình học 12: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A,B,C,D theo thứ tự là trung điểm của SA,SB,SC,SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABCD và S.ABCD bằng:

(A) 12         (B) 14

(C) 18         (D) 116

Phương pháp giải:

Cho khối chóp S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lấy các điểm A,B,C. Khi đó ta có: VS.ABCVS.ABC=SASA.SBSB.SCSC

Lưu ý công thức trên chỉ được phép dùng đối với chóp tam giác, khi không là chóp tam giác phải sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện trước khi sử dụng công thức.

Lời giải:

Ta có: VS.ABCD=VS.ABC+VS.ACD

VS.ABCVS.ABC=SASA.SBSB.SCSC=12.12.12=18

VS.ABC=18.VS.ABC=18.12.VS.ABCD=116VS.ABCD

VS.ACDVS.ACD=SASA.SCSC.SDSD=12.12.12=18

VS.ACD=18VS.ACD=18.12VS.ABCD=116VS.ABCD

VS.ABCD=VS.ABC+VS.ACD =116.VS.ABCD+116.VS.ABCD=18.VS.ABCD

Chọn (C).

Chú ý và sai lầm: KHÔNG ĐƯỢC sử dụng công thức trên như sau: VS.ABCDVS.ABCD=SASA.SBSBSCSC.SDSD =12.12.12.12=116, đây là công thức SAI.

Bài 8 trang 28 SGK Hình học 12: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:

(A) 23a3          (B) 24a3

(C) 32a3           (D) 34a3

Phương pháp giải:

Khối lăng trụ tam giác đều là khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Lời giải:

Đáy của khối lăng trụ đều là tam giác đều cạnh a nên ta có diện tích đáy:S=a234

Chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều h=a.

Vậy thể tích là: V=S.h=a234.a=a334

Chọn (D).