Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phương trình mũ và phương trình lôgarit lớp 12.
Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Trả lời câu hỏi giữa bài
Lời giải:
Lời giải:
Đặt , ta có:
Phương pháp giải:
Lời giải:
Theo định nghĩa logarit ta có:
Hãy đưa các logarit ở vế trái về cùng cơ số.
Phương pháp giải:
Lời giải:
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:
Phương pháp giải:
- Thay vào phương trình đưa về phương trình ẩn .
- Giải phương trình tìm và suy ra .
Lời giải:
Với . Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
Phương pháp giải:
Lời giải:
Đặt phương trình trở thành:
Với thì
Với thì
Vậy phương trình có tập nghiệm
a) ;
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức của hàm lũy thừa:
+) Đưa phương trình về dạng: sau đó giải phương trình (*) tìm nghiệm của phương trình rồi kết luận nghiệm.
Lời giải:
a)
Vậy phương trình có nghiệm:
b)
Vậy phương trình có nghiệm
c)
Vậy phương trình có nghiệm hoặc
d)
Vậy phương trình có nghiệm
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức cơ bản của hàm lũy thừa, biến đổi phương trình về các dạng cơ bản sau đó giải phương trình.
+) Đưa phương trình về dạng:
+) Giải các phương trình bằng phương pháp đổi biến.
+) Khi đổi biến nhớ đặt điều kiện cho biến mới.
+) Giải phương trình tìm biến mới, đối chiếu với điều kiện đã đặt. Sau đó quay lại giải phương trình tìm ẩn x ban đầu.
Lời giải:
a)
Vậy phương trình có nghiệm .
b)
Vậy phương trình có nghiệm
c)
Đặt Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm
d)
Chia cả 2 vế của pt cho ta được:
Đặt Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm
a)
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định.
+) Đưa về cùng cơ số:
Lời giải:
a)
(1)
TXĐ:
Khi đó: (1) (loại)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
b)
(2)
TXĐ:
Khi đó:
Vậy phương trình có nghiệm là
c)
(3)
TXĐ:
Khi đó:
Vậy phương trình có nghiệm
d)
(4)
TXĐ:
Khi đó:
Vậy phương trình có nghiệm là .
a)
b)
Phương pháp giải:
Các bước giải phương trình logarit:
+) Tìm điều kiện xác định.
+) Sử dụng các phương pháp tương ứng để giải phương trình (có các phương pháp: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa….).
+) Giải phương trình để tìm ẩn và so sánh với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm của phương trình.
Bài toán này chủ yếu sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số:
Chú ý: ;
Lời giải:
a)
Điều kiện:
Vậy phương trình có nghiệm .
b)
Điều kiện:
Vậy phương trình có nghiệm
c)
Điều kiện:
Vậy phương trình có nghiệm
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Phương trình có dạng
+) Với ta có .
+) Với phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình .
Ta có:
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
Ví dụ: Giải phương trình
Ta có:
b) Đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình .
Ta có:
Đặt ta được:
c) Logarit hóa
Ví dụ: Giải phương trình .
Logarit hai vế cơ số ta được:
d) Đưa về phương trình tích.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích
- Bước 3: Giải các phương trình tìm nghiệm.
- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
e) Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
- Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng với là hàm số đơn điệu.
- Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.
- Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.
II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình có dạng
Ta có: .
Phương trình luôn có nghiệm .
Ví dụ: Giải phương trình .
Ta có: .
2. Cách giải một số phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Ví dụ: Giải phương trình
Ta có:
b) Đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình .
ĐK:
Đặt ta được:
Vậy phương trình có tập nghiệm .
c) Mũ hóa
Ví dụ: Giải phương trình
ĐK:
Ta có:
d) Đưa về phương trình tích.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích
- Bước 3: Giải các phương trình tìm nghiệm.
- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
e) Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
- Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng với là hàm số đơn điệu.
- Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.
- Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.
Sơ đồ tư duy về phương trình mũ và phương trình logarit
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức trong hệ có nghĩa.
- Bước 2: Dùng các biến đổi tương đương (rút thế, công đại số,…) để nhận được phương trình 1 ẩn.
- Bước 3: Giải các phương trình một ẩn nhận được từ hệ.
- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
- Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng loại 1, loại 2, hệ đẳng cấp,…)
- Bước 3: Giải hệ.
- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm.
- Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
- Bước 2: Rút ra từ hệ một phương trình dạng .
- Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số: Nếu hàm số đơn điệu trong khoảng đang xét thì phương trình có nghiệm duy nhất .
- Bước 4: Thay vào phương trình còn lại trong hệ, giải phương trình đó.
- Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.